МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

1. Множина дійсних чисел. Упорядкованість, щільність, повнота множини дійсних чисел.

Раціональними числами називаються числа виразу , де . Розглянемо основні властивості множини раціональних чисел.

І. Упорядкованість. Базується на >,<.

І1. Для кожної пари раціональних чисел a,b, справджується одне і тільки одне із співвідношень: або .

І2. .

І3. . Кажуть, що число a<b, якщо b>a.

ІІ Сума та різниця.

Будь-яким двом раціональним числам a і b можна поставити у відповідність число с, яке називається сумою а і b c=a+b і задовольняє наступні властивості:

ІІ1. a+b=b+a – комутативність.

ІІ2. (a+b)+c=a+(b+c) – сполучний (асоціативність).

ІІ3. а+0=а (існування нульового елемента).

ІІ4. а+(-а)=0 (існування симетричного елемента).

Різницею двох раціональних чисел a і b називається раціональне число с, при чому

, при чому виконуються наступні властивості:

a-a=0.

a=-(-a).–

(a+b)=-a-b=(-a)+(-b).

ІІ5. a>b=>a+b>b+c.

ІІІ. Добуток та частка.

Кожній парі раціональних чисел a і b можна поставити у відповідність число с, яке називається добутком а і b; c=a*b і задовольняє наступні властивості:

ІІІ1. ab=ba – переставний закон.

ІІІ2. (ab)c=a(bc) – сполучний закон.

ІІІ3. a*1=a – існування одиничного елемента.

ІІІ4. a*1/a=1 – обернений елемент.

Число називається часткою двох раціональних чисел а і b, якщо

ІІІ5. (a+b)c=ac+bc/

ІІІ6. a>b,c>0=>ac>bc:

a>0,b>0,=>ab>0

a>0,b<0,(a<0,b>0)=>ab<0

a<0,b<0=>ab>0

IV Аксіома Архімеда.

с>0, існує натуральне число N, , яке більше за нього.

Неіснує у множині раціональних чисел такого числа, квадрат якого дорівнював би 2;

. .

Рівняння - немає розв’язку.

. Гіпотеза, яка реально існує і немає розв’язку в множині раціональних чисел, є неповною.

Повнота множини дійсних чисел.

Теорема(Дедекінда). Для будь-якого перерізу у множині дійсних чисел існує число , яке здійснює цей переріз. Це число буде:

або найбільшим в нижньому класі А

або найменшим у верхньому класі

Доведення.

. .

.

Нехай . Нехай знайдеться . .

2. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.

Послідовністю називається функція натурального аргумента, тобто коли кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число.

Послідовність називається зростаючою (спадною) , коли при збільшенні (зменшенні) члени послідовності зростають (зменшуються), тобто якщо при ( ).

Число називається границею послідовності якшо для довільного існує таке натуральне число , яке залежить від , що для всіх виконується нерівність .

Теорема1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Доведення.

Припустимо супротивне. Нехай послідовність має дві границі . Виберемо a<b . Візьмемо довільне , таке, щоб . Знайдемо числа і , при яких , а для . Якщо вибрати N більшим з чисел N1 N2 , то і , що неможливо, тому що .

Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Доведення.

Нехай . Тоді в будь-який окіл точки потрапляють всі за винятком хіба лише скінченного числа точок. Нехай, починаючи з , всі потрапили до околу . Виберемо з чисел найбільше за модулем М. Тоді для . Виберемо . Тоді для , тобто послідовність -- обмежена.

Теорема 3. Якщо для послідовностей і , що мають скінченні (не обов'язково) границі і , і починаючи з деякого номера для всіх наступних членів виконуються нерівності або , то .

Теорема4. Якщо з трьох послідовностей , , дві мають одну й ту саму границю , і при всіх , починаючи з деякого номера, справджуються нерівності , то .

Дійсно, нехай дано . Оскільки , то існує таке , що , Оскільки , то існує таке , що . Нарешті , нехай нерівності справджуються при всіх . Виберемо тепер . Тоді всі нерівності справджуватимуться одночасно : , , , звідси , або . Це означає, що .

Неск-но малі і неск-но великі посл-ті, спів. між ними. Леми про нескінченно малі.

Послідовність хn називається нескінченно малою, якщо її границею є число нуль, тобто:

Послідовність хn границею, якої є +? або –? або ? називається нескінченно великою.

lim xn = +?

lim xn = –?

lim xn = ?

Для того, щоб пос-ть xn збігалася до числа а необхідно і достатньо, щоб послідовність(xn-a) була неск-но малою.

Л1: Якщо послідовність Bn–> %, то обернена до неї величина, An–>0

Аналогічно можна довести, що якщо п. Аn –неск.мала, то обернена до неї – неск.велика.

Л2:Сума (різниця) довільного скінченого числа, неск-но малих величин є величина нескінченно мала.

бn –> 0 вn –> 0

n–>+? n–>+?

N = max {N'; N"} Для будь-якого n>N

Л2:Добуток нескінченно малої величини на обмежену є величина нескінченно мала.

бn –> 0 n–>+?

бn –> 0

n–>+?–

бn–>(-1)*бn–>0

бn–вn=бn+(–вn)–>0.

Т1:Якщо послідовність має скінченну границю, то вона є обмеженою.

4. Відповідність. Відоброження, функція. Способи задання. Види функції.

Розглянемо множини х={х},У={у}. Якщо задано правило за яким елементи множини Х співставляються з елементами з множини У, то кажуть, що між елементами цих множин задана відповідність.

Відображення – це частинний випадок відповідності. Відображенням множини Х на У назив. відповідність між елементами множини.

F – відображення х єХ у є У у=Fх таке відображення називається відображенням мн. У на мн. Х. х=F-1у – обернене відображення. У=F(Дх) – композиція. Відобр. мн.самої на себе F0х=х (хх) . F(F-1х)=х.

Функція – частинний випадок відображення. Функцією назив. однозначне відображення. х єХ у є У. D(f)=x – область визначення. Е(f)=у – обл. значень. Способи задання ф-ї:

Аналітисний y=f(x) - задана явно, F(х,у)=0 – не явно.

Табличний спосіб (у вигляді таблиці)

Графічний спосіб: зображення залежності між х та у.

Словесний спосіб (ціла частина від ікса(х)).

Графіком ф-ї y=f(x) і х=f-1(у) є одна і та сама крива.

Елементарні ф-ї: степеневі у=хф, показникові у=ах а>0, a не 1х є R; логарифмічні, тригонометричні, обернено тригонометричні.

Обмежені та не обмежені функції. Ф-я обмежена, якщо

Обмежена зверху і