Монотонні ф-ї. Ф-я f(x) назив. зрост.(спадною), якщо Парна і не парна. f(-x)=f(x) – парна, f(-x)=-f(x) – не парна. Сума довільного скінченного числа парних (не парних) ф-й є ф-я парна (не парна).

Добуток дов. скінч числа парних ф=й є ф-я парна.

Періодичність ф-ї. Ф-я y=f(x), х є Х назив. періодичною на множині з періодом l (l-періодичною), якщо Якщо l є періодом, то і ± nl є періодом, n є N.

5. Границя ф-ї. Озн. за Гейне, Коші, їх еквівалентність.

Точка а називається точкою згущення числової множини Х={x}, якщо в будь-якому її околі містяться відмінні від а значення хєХ. Нехай задана функція f(x) в області визначення X , і задана точка a, яка може і не належати до області визначення.

Означення 1 "за Гейне". Число A називається границею функції f(x) в точці x=a, якщо для всякої послідовності x1, x2,…,xn, що збігається до a, відповідна послідовність значень функції f(x1), f(x2),…, f(xn) збіжна до A.

Означення 2 "за Коші". Число A називається границею функції f(x) в точці x=a, якщо для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність .

Еквівалентність означень.

Нехай виконується означення 2, тобто для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність . Оберемо з області значень функції f(x) послідовність x1, x2,…,xn–>a. За означенням границі послідовності це означає, що для всякого д>0 існує N(д), що з того що n>N слідує , а згідно нашого припущення, буде вірною і така нерівність , а це й означає, що

Нехай виконується означення 1, тобто для всякої послідовності x1, x2,…,xn, що збігається до a, відповідна послідовність значень функції f(x1), f(x2),…, f(xn) збіжна до A. Припустимо, що означення 2 не виконується, тоді існує таке , що . Виберемо такі д1, д2… що:

…………………………

Нехай , тоді , а оскільки виконується означення 1, то це означає, що , а це протирічить тому, що . Отже, наше припущення невірне.

Число A називається границею функції f(x) в точці x=a зліва (лівосторонньою), якщо для всякого існує таке д1, що з нерівності слідує нерівність .

Число A називається границею функції f(x) в точці x=a справа (правосторонньою), якщо для всякого існує таке д2, що з нерівності слідує нерівність .

Теорема. Критерій Коші. Для того щоб функція f(x) мала скінчену границю в точці а необхідно і достатньо щоб:

Визначні границі: ; .

1. Розглянемо послідовність 1…n, і покажемо ,що вона строго зростає і обмежена зверху та має скінченну границю. Застосувавши формулу біному Ньютона,отримаємо

Із виразу ,який знаходиться у правій частині рівності ,видно,що при переході від n до n+1 число доданків у написаній сумі зростає на одиницю і кожен доданок ,починаючи з третього,збільшується,так як стає більшим вираз, який стоїть в кожній круглій дужці,так як Це означає строге зростання послідовності Далі , оскільки

2.Доведемо,що Розглянемо в координатній площині коло радіуса R з центром в початку координат .Якщо OA=R, AOB=x, 0<x<\2 , ,то площа , тобто звідси , або. В силу парності функцій і ця нерівність справедлива і для . Переходячи в цій рівності до границі при і маючи на увазі ,що в силу неперервності функції cos x при x=0 має місце рівність .Отримаємо ,що

6. Неперервнiсть функцiї в точці. Різні означення. Одностороння неперервність.

Означення 1. Функція називається неперервною в точці x0, якщо вона в цій точці існує, існує границя функції в цій точці і має місце рівність

.

Функція f(x) називається неперервною в точці x=x0, якщо для всякого існує таке , яке залежить від , що з нерівності слідує .

Щоб функція була неперервною в точці необхідно щоб вона мала границю в цій точці.

Означення. Функція f(x) в точці x0 називається неперервною зліва (справа), якщо лівостороння (правостороння) границя дорівнює значенню функції в цій точці.

Якщо функція неперервна зліва і справа, то вона неперервна в цій точці.

Теорема 1. Якщо функції f(x) i g(x) визначені в одному і тому проміжку Х і неперервні в точці х0, то в цій точці будуть неперервними і функції:

f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) (g(x)?0).

…………………………………………….

Теорема 2. Нехай функція ц(y) визначена на проміжку уєУ, а функція y=f(x) – хєХ. Причому коли хєХ то уєУ.

Якщо функція f(x) неперервна в точці х0, а функція ц(х) неперервна – у0=f(x), то складна функція ц(f(x)) теж буде неперервною в точці х0.

Що й буде свідчити про неперервність складної функції в точці х0. ¦

Якщо функція в точці x0 не неперервна, то ця точка називається точкою розриву функції. Розриви функції поділяються на розриви першого і другого роду.

Якщо в точці x0 існують границі зліва і справа, але не рівні, або навіть рівні, але не дорівнюють значенню функції в цій точці, то це розрив першого роду.

Якщо не існує хоч одна з односторонніх границь або рівні ?, то це розрив другого роду.

Серед розривів першого роду виділяють усувний розрив – це розрив, коли обидві границі існують і рівні, але не рівні значення функції в цій точці (найчастіше тому, що вона в цій точці не існує). Щоб усунути розрив треба доозначити або переозначити значення функції в цій точці.

Властивості функцій, неперервних на сегменті.

Озн. Функція f(x) називається неперервною в т. х0 якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст ф-ції.

Озн. Функція f(x) наз-ся неп-ою зліва, якщо і неп-ю з права, якщо

Якщо ф-ція неперервна в т. х0