Т.(І теорема Больцано-Коші)Якщо функція f(x) визначена і неперервна в замкненому проміжку ab і на кінцях цих проміжків приймає значення різних знаків, то між a і b знайдеться точка с в, якій f(x) перетв-ся в 0.

f(x), x є [а,b] ; f(c)=0, f(a)<0, f(b)>0

Д:. Припустимо, що f(a)<0, f(b)>0 . Поділимо [а,b] пополам [а;(a+b)/2] [(a+b)/2;b] f((a+b)/2)=0. З двох отриманих відрізків принаймні на одному ф-ія на кінцях набуватиме різних значень. [а1,b1] – відрізок на якому функція на кінцях набуватиме різних значень. [а1,b1] , f(a1)<0, f(b1)>0. Відрізок [а1,b1] ділимо пополам [а1;(a1+b1)/2] [(a1+b1)/2;b1]. Якщо (a1+b1)/2=0 теорема закінчена, якщо ні то той відрізок де на якому ф-ія на кінцях набуває різних знаків. [а,b], f(an)<0, f(bn)>0; [а,b][а1,b1][а2,b2]…[аn,bn]; bn-an=(b-a)/2nn 0; b1-a1=(b-a)/2; b2-a2=(b1-a1)/2=(b-a)/22. За лемою про вкладені відрізки одрежуємо, що ; ; ; звідси випливає f(x)=0

Т.(ІІ теорема Больцано-Коші)Нехай функція f(x) визначена і неп-на в деякому проміжку Х. Якщо в деяких двох точках цього проміжку х=а, х=b (a<b) функція набуватиме не рівних значень f(a)=A, f(b)=B, то для будь-якого числа с яке міститься між а і b така, що f(c)=c.

Д: f(x), xєX; x=a, x=b; f(a)=A, f(b)=B; x=c, f(c)=C. Нехай А<B. Розглянемо допоміжну ф-ію ц(x)=f(x)-c, ф-ія ц(x) буде неперервною в проміжку Х, як різниця двох неперервних ф-ій. ц(a)=f(a)-c=A-c<0, ц(b)=f(b)-c=B-c<0. За І теорема Больцано-Коші існуватиме точка с між а і b така, що ц(с)=0 => f(c)-c=0 =>f(c)=c

Т.(І теорема Веэрштраса)Якщо функція f(x) визначена і неп-на в замкненому проміжку ab,то вона обмежена в цьому проміжку.

Д: Припустимо, що ф-ія f(x) необмежена в проміжку (a,b). . За лемою Больцано-Веєрштраса , x0є[a,b]

f(xnk)-> f(x0), f(xnk). Суперечність, доводить, що ф-ція буде обмежена на [a,b].

Т:(ІІ теорема Веэрштраса)Якщо функція f(x) визначена і неперервна в замкненому проміжку ab, то вона досягає в цьому проміжку свого найбільшого і найменшого значення.

Т. Кантора. Якщо функція визначена і неперервна в замкнутому інтервалі , то вона на цьому інтервалі рівномірно неперервна.

Д. (Від супротивного). Нехай для будь-якого визначеного не існує , про яке йдеться в означенні рівномірної неперервності. В такому разі .

Візьмемо тепер послідовність додатніх чисел так, що . Тоді за вище сказаним отримаємо:

.

За лемою Больцана-Веєрштрасса із обмеженої послідовності можна виділити підпослідовність, яка буде збігатися до деякої точки . Щоб не ускладнювати позначення, вважатимемо, що сама послідовність збігається до .

Так як (бо , а ), то одночасно і послідовність збігається до . Тоді за неперервністю в функції в точці , має бути:

, так що ,а це протиріччя з тим, що для будь-якого виконується: . Теорема доведена.

Озн. Коливанням ф-ії f(x)на деякому проміжку Х наз-ся величиною ; щ=M-m; M=supxєX f(x); m=infxєX f(x)

Наслідок з теореми Кантора. Нехай функція визначена і неперервна в замкнутому інтервалі . Тоді , що якщо інтервал довільно розбити на проміжки, довжиною меншими за , то на кожному з них коливання функції буде меншим за .

7. Задачі, що приводять до поняття похідної. Озн. похідної, її геометричний та фізичний зміст. Правила відшукання похідних. Похідна композиції функцій.

З1.Матеріальна точка рух-ся прямолінійно за зак S=S(t). Знайти шв-ть точки в момент часу t(миттєву шв-ть).

Надамо величині t деякого приросту ?t.

t?t; t, t+?t; ?S=S(t+?t)-S(t); Vсер=?S/?t; ; Vмит=SI(t)

З2.Зн. кутвий коефіцієнт дотичної до графіка ф-ії f(x) в точці M(x,y).

Розглянемо деяку криву (К).

Озн. Дотичною до кривої (К) в т. М наз-ся граничне положення МТ січної ММ1, коли т. М1 наближ. вздовж кривої (К) до т. М.

Розглянемо деяку функцію f(х), зобразимо її графік

; ;

Озн. Похідною функції називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля..

Якщо функція в точці х має похідну, то вона називається диференційованою в цій точці. Якщо ми маємо дві функції U(x) і V(x) диференційовані в т. х, то буде диференційована їх сума, добуток і частка(V(x)0)

Похідна оберненої функції. Нехай маємо функцію y=f(x). Нехай до неї існує обернена ф-ція

Т1. Якщо функція y=f(x) в т. х має похідну, не рівну нулю, то обернена ф-ція у відповідній точці-у також має похідну, яка записується: або

Д:1) Надали приросту змінній у, 2) Тоді змінна х набирає приріст,3),

4) Отже

Похідна складної функції. Нехай y=f(u), а , то ми маємо складну ф-цію: .

Т2. Якщо функція f(u) має похідну , а ф-ція має похідну у відповідній точці х, то складна ф-ція має похідну

Д. Оскільки існує , то існує границя при . Поділимо обидві частини на і перейдемо до границі:

Якщо , то Отже, тобто .

Похідна ф-ції, заданої параметрично.

Т3. Якщо ф-ції і мають похідні , причому , тоді існує похідна , рівна частці похідних. Доведення. Якщо у- ф-ція від х, то

Основна таблиця похідних:

8. Застосування похідної до дослідження функції на сталість, монотонність

Теорема. Нехай функція визначена на проміжку X і всередині цього проміжку має похідну , а на кінцях (якщо вони належать X) зберігає неперервність. Для того, щоб функція f(x) була тотожня константа в X необхідно і досить, щоб =0 в середині X.

Дов. Необхідність. Нехай тотожня константа , .То очевидно, що.Необхідність виконується.

Достатність. Дано, що похідна у кожній точці дорівнює нулю. Треба показати, що тотожня стала. Це означає, що які б ми дві точки з області X не взяли