Застосуємо теорему Лагранжа. . ==const.

Теорему доведено.

Наслідок. Якщо і g(x) визначені на проміжку X і всередині нього мають скінченні похідні і g(x), ці похідні рівні, то ці функції відрізняються на сталу

Дов. Функція -g(x) має похідну .То

Необхідні і достатні умови монотонності функції у широкому розумінні.

Теорема. Нехай визначена на проміжку X і всередині нього має скінченну похідну .Для того, щоб була монотонно зростаючою (спадною) у широкому розумінні необхідно і досить, щоб .

Дов. Необхідність. Нехай неспадна (не зростаюча) Застосуємо теорему Лагранжа: (1).Припустимо що Оскільки і , то з (1) . . Аналогічно для зростаючих.

Достатність. Нехай похідна для всіх x, що міститься всередині X , тоді з формули (1) видно, що .Тобто функція не спадна. Теорему доведено.

Необхідні і достатні умови монотонності функції у вузькому розумінні.

Теорема. Нехай визначена на проміжку X і всередині нього має скінченну похідну . Для того, щоб була в X монотонно зростаючою (спадною) у вузькому розумінні необхідно і досить, щоб :

1); 2) не утворюють інтервал, який повністю міститься в X.

Дов.

Необхідність.

1)Нехай - строго монотонно зростаюча для . За попередньою теоремою . 2) Від супротивного. Нехай утворює інтервал ,який повністю міститься в X. Тоді візьмемо інтервал і застосуємо на цьому інтервалі теорему Лагранжа . Але всі . Тому . Звідси випливає, що функція немонотонна у вузькому розумінні. Наше припущення не вірне. Отже нулі похідної не заповнюють інтервал .

Достатність.

Нехай виконується 1) і 2). В силу 1) ми маємо - монотонна у широкому розумінні. І нехай вона немонотонна у вузькому розумінні, тобто , який міститься в X, що для всіх точок із функція . То тут її похідна . І ці x заповнюють цілий інтервал , який повністю міститься в X. Це суперечить 2). Тому функція монотонна у вузькому розумінні. Теорему доведено.

9. Локальний екс-м. Необхідні ум. Достатні ум. екс-му.

Точка х0 називається точкою макс.(мін) функції f(x), якщо існує окіл точки , в якому х з цього околу викон. нерів. () f(x0)– макс.(мін) функ; х0 – точка максимуму(мін). Якщо нер-ті є строгими, то макс-м(мінім) наз. власним (прот. – невласним)

Точки мах і мін називаються точками екстремумів

Необх. Умова екстремуму: якщо ф-я в точці х0 має екстремум і в цій т. існує похідна, то ця похідна=0.

Дов-ня слідує з теореми Ферма.

Тим самим, точку екстремуму потрібно шукати серед точок, в яких похід.=0 або не існує, але в цій точці повинна існувати функція. Проте, ці умови не достатні.

Наприклад: y=x3, в точці х=0 –екстремуму немає

Достатні умови екстремуму:

Якщо функц. f(x) в т. х0 неперервна, і має похідну в околі точки (всамій точці пох. може і не існує) і для х<х0, , а для х> х0 , то х0-точка максимуму. Якщо ж для х<х0 , а для х>х0 , то х0- точка мінімуму. Якщо ж для х<х0 , а для х>х0 , або х<х0 , х>х0 , то точка х0 не є ні точкою максимуму ні мінімуму.

Розглянемо відрізок [x, х0]

Ф-я на цьому відрізку задов теор Лагранжа

для х<x0 , тобто - зліва. x>x0 -справа. -//- х<x0 х>x0 . Ця точка не є ні точкою максимуму ні мінімуму.

1ша до: Якщо похідна при переході через стац. точ. змінює свій знак з + на – (чи навпаки),то в т х0 ф-я матиме макс(мін).Якщо знак не зм-ся, то в т х0 екс. нема.

2га до:Якщо існує похідна 2-го порядку вт.х0 і вона додатна(від’ємна), то в т.х0 ф-я матиме мін(макс).

3тя до:Якщо перша із ненульових вт.х0 похідних ф-ій є непарного порядку, то ф-я в т.х0 екстремуму немає. Якщо такою похідною є похідна парного порядку, то в т.х0 буде мак, якщо ця пох. від’ємна;мін-м, якщо вона додатна.

10. Точки перегину графіка функції. Необхідні умови. Достатні умови перегину.

Нехай функція f(x) диференційована в інтервалі (a,b).

Озн. Кажуть, що графік ф-ії f(x) має на інтервалі (a,b) опуклість направлену вниз (вверх), якщо цей графік в межах вказаного інтервалу лежить не нижче (не вище) будь-якої своєї дотичної.

Теорема (Необхідна умова перегину). Якщо графік ф-ії f(x) має перегин в т. М(с,f(с)) і якщо ф-ія f(x) має в т. с неперервну другу похідну, то ця похідна рівна нулеві.

Озн. Точки в яких друга похідна ф-ії рівна 0 або не існує наз-ся критичними точками другого роду.

Достатня умова випуклості графіка функції.

Теорема. Нехай функція f(x) в інтервалі (a,b) має похідну другого порядку. Якщо для всіх , то крива в інтервалі (a,b) випукла.

Доведення. Нехай для всіх . Проведемо дотичну до кривої в довільній точці . Її р-ння має вигляд (1): (1). Якщо , то знайшовши з р-ння (1) і двічі застосувавши теорему Лагранжа(якщо ф-ія f(x) неперервна на відрізку і диференційована в інтервалі (a,b), то існує принаймні одна т., така , що.дістанемо , де

Оскільки і, внаслідок умови теореми, то або тобто крива лежить нижче, ніж дотична в інтервалі Якщо ж то

Оскільки і, внаслідок умови теореми, то або тобто крива лежить вище, ніж дотична в інтервалі А це означає, що в інтервалі (a,b) крива обернена опуклістю вверх.Т-ма д-на.

Озн. Якщо в т. х0 крива переходить від випуклості до вгнутості, то така точка наз. точкою перегину.

Точки перегину можливі в тих точках , де друга похідна = 0 або не існує.

11. Первісна функція, властивості. Неозначений