Визначення. Функція F(x) називається первісною функцією (або просто первісною) для функції f(x) на інтервалі (a,b), якщо в довільній точці x інтервалу (a,b) функція F(x) диференційована і має похідну F?(x), що дорівнює f(x).

Т1: Якщо в деякому проміжку Х ф-я F(x) є первісною для функції f(x), то функція F(x) + C, де С – стала теж буде первісною для f(x) на проміжку Х.

Д: (F(x)+C)’=F’(x)+0=f(x) – за означ. первісної

Нехай Ф(х) теж деяка первісна для ф-ї f(x) на відрізку Х, тобто Ф’(x)=f(x). Ф(х)= F(x)+C – за умовою сталості ф-ї.

Отже, вираз F(x)+C являє собою заг. вигляд ф-ції, яка має похідну f(x. Цей вираз називається неозначеним інтегралом від ф-ції f(x) і позн.

Властивості:

Правила інтегрування:

А) Заміна змінної в інтегр.

Нехай маємо-первісна,

візьмемо таку, що , неперервна, -неперер., то

Перевіримо (2)

- вийшла підінтегральна ф-я , тому (2) справедлива

Нехай ми ф-ю

- можемо представити

- тут істотно, що ми можемо виділ. ф-ї і її похідну ;

Розглянемо 2 випадок заміни змінних. Якщо ми маємо - монотонна, неперервна і і має неперервну похідну (монотонна, напр.. для того , щоб існув. обернена ф-я) Такою ф-єю є ф-я

- непер. складна ф-я, , тому

Маємо

В) Інтегрування частинами

Є два основних методи інтегрування частинами. Метод інтегр. частинами базується на в-тях інтегралів.

Нехай ми маємо , - всі чотири ф-ї непер. в обл.. .

Запишемо диферент. від добутку

- про інтегруємо праву і ліву частину

- ф-ла інтегрув. частинами.

Зауваження:

1. Якщо під інтегралом є многочленn(X)=sinaxdx, n(x)eaxdx, то як правило через U позначають Pn(x)

2. Якщо під інтегралом є log, або arc-ф-я, то цей log, або arc-ф-ю позначаємо через U.

3. Деякі інтеграли вимагають кількаразового інтегрування по частинам.

12. Інтеграл Рімана. Необхідна і достатня умови інтегровності. Класи інтегровних функцій.

Нехай f(x) задана на відрізку [a,b]. Поділимо відрізок [a,b] довільним способом на частини. На кожному з відрізків вибираємо довільно точку .

a xk xk+1 b

,.

Обчислюємо f() і складаємо суму: - інтегральна сума, де . Якщо існує границя цієї інтегральної суми, незалежно від поділу відрізка на частини і від вибору точок на кожному з них, то її називають визначеним інтегралом від функції f(x) на [a,b] при :

- інтеграл Рімана, де - найбільший з відрізків (),f(x)- підінтегральна функція.

Якщо границя не існує, або=, то ф-ція назв. Неінтегровною на [a,b]

Т(необхідна умова). Якщо функція інтегрована, то вона обмежена.

Д. Припустимо, що функція не обмежена зверху. Тобто вона не обмежена хоч на одному з тих відрізків. Тоді за рахунок вибору точки , можна зробити як завгодно великим. Тоді хоч один доданок в інтегральній сумі , тому границя не існуватиме і функція не інтегровна.

Т. про існування визначеного інтеграла (необхідна і достатня умова). Для існування визначеного інтеграла необхідно і достатньо, щоб вона була обмеженою і . (1)

На ”мові -” умова (1) означає, що для , що як тільки (тобто проміжок розбитий на частини довжиною), виконується нерівність S-s<

Д. a) Н-ть. Нехай існує .Тоді , що як тільки, або , . Оскільки s і S точні грані для , тому , і , звідки при .

б) Д-ть. Нехай виконується (1)З , і якщо позначити їх спільне значення через I , то , .

Класи інтегровних функцій.

Т1.Всяка неперервна функція на відрізку інтегрована.

Д. Функція неперервна на відрізку .Треба довести, що (1). На основі теореми Кантора для заданого завжди знайдеться таке ; що якщо відрізок розіб’ємо на частини , щоб коливання ф-ції на кожній з них було менше як , тоді сума . Границя цієї суми нуль; умова (1) виконується, звідси випливає існування інтеграла.

Т2. Якщо ф-ція обмежена на відрізку і має скінченне число точок розриву, то вона інтегрована на цьому відрізку.

Д. Проведемо доведення для випадку, коли одна точка розриву. Поділимо відрізок на частини так, щоб. Нехай на перед задане довільне . Відкладемо точки . Суму розділимо на дві: і . До суми належать відрізки, які поза околом (), а до суми належать всі решта точки. Згідно теореми Кантора .

Позначимо - коливальні ф-ції на всьому відрізку , ().

. Завжди можна вважати, що . Тоді . Границя такої суми буде дорівнювати 0.

Т3.Якщо ф-ція обмежена і монотонна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.Д. Розглянемо суму . Розіб’ємо відрізок на частини, щоб довжина кожного (-монотонно зростає), тоді

Отже, ф-ція інтегрована.

частинний випадок т-ми 2. Якщо ф-ція монотонна і обмежена, то цих розривів може бути скінченна множина.

Формула Ньютона-Лейбніца.

Для неперервної на [a, b] ф-ї інтеграл є первісною. Якщо F(x) є довільна первісна для f(x) функція, то Ф(х)=F(x)+C.

Сталу С легко визначити, поклавши х=а, бо Ф(а)=0. Будемо мати 0=Ф(а)=F(а)+С, звідки С= -F(а). Тому Ф(х)=F(x)+F(а).

При х=b отримаємо

13. Основні застосування означеного інтеграла. Обчислення площ криволінійних трапецій

Теорема:Якщо функція f невід’ємна і неперервна на відрізку [], а

P={():,}, (1) Тоді площа S множини P задається формулою (2) Нехай k- розбиття відрізка [], =[k-1, k], k=k-k-1,

=,= (3)

Позначимо відповідно через і замкнуті прямокутники,які складені зі всіх прямокутників вигляду (4)

(5)

. (6)

Із (3) що для будь-якого розбиття виконується включення з цього слідує що (7)

З (4) (5) що так як прямокутники і відповідно не мають спільних внутрішніх точок то в силу (6)

,

Інакше кажучи площі прямокутниківдорівнюють відповідно нижній і верхній сумам Дарбу функції f .Тому з нерівності (7) випливає що , а так як то ,