то Дійсно, якщо а -множина, симетрична множині відносно вісі то за формулою (2) Оскільки площі симетричних множин рівні, тобто а

Обчислення площі в полярних координатах.

Нехай P-замкнута множина,границею якої є деяка крива,яка задана рівнянням -неперервна функція) Згідно формули для обчислення сектора

слідує

Одержані суми є відповідно нижньою і верхньою сумами Дарбу функції Оскільки суми Дарбу і при прямують до одної границі то Отже

Обчислення довжини кривої.

Нехай -крива що задана своїм неперервно диференційовним вектором

,тоді вона спрямлювана пряма і якщо - її змінна довжина дуги то функція диференційована і

За формулою Ньютона-Лейбніца для довжини кривої маємо формулу

Якщо то

У випадку коли крива є графіком функції для її довжини справедлива формула

Обчислення об’єму тіла

Нехай функція невід’ємна і неперервна на відрізку [] а Q-тіло, одержане внаслідок обертання криволінійної трапеції P породженої графіком функції

Покажемо що для об’єму V цього тіла справедлива формула

Позначемо через і ,що утворилися внаслідок обертання навколо осі x фігур і З включення випливає включення а відповідно і нерівність

Об’єми і рівні сумам об’ємів які складаються із циліндрів, що утворилися обертанням прямокутників і і

З цієї рівності видно, що і є нижньою і вверхньою сумами Дарбу функції тому

14. Функції багатьох змінних. Границя. Неперервність.

Озн. Сукупність точок n-вимірного простору для яких за допомогою ф-ли введено поняття відстані називається n-вимірним Евклідовим простором і позначається En

Озн. Якщо кожній точці М із мн. Е Еn за деяким законом ставиться у відповідність деяке число u то кажуть, що на мн. Е задана ф-ція u=u(M) або u=f(M) або u=u(x1,…,xn) і така ф-ція назв. ф-ю від багатьох змінних.

M є Е Еn u є R

Мн. Е – область визначення ф-ції.

Область значень – множина дійсних чисел.

Озн. границі функції (на мові ). Кажуть, що функція має границю число А при , якщо .

n-кратна границя.

Озн. Число А е границею ф-ції f(M) в точці М0, якщо для будь-яких послідовностей точок М1,…,Мn … збіжні до М0 відповідна послідовність f(M1),…, f(Mn),… значень ф-ції збігається до А.

Теорема про рівність повторних і подвійних границь.Якщо визначена на проміжку , точка скупчення ,і 1). , 2). тоді .

Доведення. Сформулюємо означення подвійної границі , якщо , то .(1)

Вибираємо yтаке, щоб виконувалосьі в (1) перейдемо до границі при фіксованому y, , ми маємо, що , це означає, що , а це не що інше як .

15. Частинні похідні

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній х приросту , залишаючи змінну незмінною, так, щоб точка належала заданому околу. Величина називається частинним приростом функції по змінній х. Аналогічно вводиться частинний приріст функції по змінній : Якщо існує границя то вона називається частинною похідною функції в точці по змінній і позначається одним із таких символів: – частинні похідні по в точці .Аналогічно частинна похідна функції по визначається як границяі позначається одним із символів:Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної , вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна . Тому частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної. Частинна похідна (або ) характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі (або ). З'ясуємо геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних. Графіком функції є деяка поверхня. Графіком функції є лінія перетину цієї поверхні з площиною . Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, дістанемо, що , де – кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці . Аналогічно . Для функції змінних можна знайти частинних похідних:

де , .

Щоб знайти частинну похідну треба взяти звичайну похідну функції по змінній , вважаючи решту змінних сталими. Якщо функція задана в області і має частинні похідні в усіх точках , то ці похідні можна розглядати як нові функції, задані в області . Тому має сенс питання про існування частинних похідних від цих функцій по якій-небудь змінній в точці .Якщо існує частинна похідна по від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають або . Таким чином, за означенням або Якщо існує частинна похідна по від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають або . Отже, за означенням або

Для функції двох змінних можна розглядати чотири похідні другого порядку: . Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції , їх вісім: .

16. Числові ряди. Збіжні і розбіжні ряди. Ознака збіжності.

Нехай дано числову послідовність{un}. Вираз вигляду

а1+а2+…+аn+… (1)

або, те саме, вигляду називається числовим рядом. Числа u1,u2,…,un,...називаються членами ряду. З кожним рядом вигляду (1) будемо ставити у відповідність суми

S1=u1,

S2=u1+u2,

S3=u1+u2+u3 ,

………………. (2)

Sn =u1+u2+…+un ,

………………

які називаються частинними або частковими сумами. Частинні суми ряду утв. деяку числову послідовність{Sn}. Ряд(1) наз. збіжним, якщо збігається послідовність його частинних сум{Sn}, тобто якщо існує скінчена границя. Число S- сума ряду. Якщо послід. немає границі або = ,то такий ряд наз. розбіжним(ряд не має суми). Кожній послід. Можна поставити у відповідність ряд сум S1 ,...,Sп, S1+( S2 –S1)+(S3- S2)+...+(Sп- Sп-1)+...

Теорема(необхідна умова збіжності ряду): Якщо рядзбігається, то його п- тий