Доведення. Нехай ,тоді (3). За умовою теореми, ряд збігається, а це означає, що існує скінчена границя . Звідси і з (3) випливає правильність рівності .

Теорема доведена.

Розгл. критерій Коші для послідовності для доведення не достатності умови теореми. Нехай дано 1) ; 2),тоді для >0 ,що при n>N,m>N

Щоб ряд 1) був збіжн. необх. і дост ,щоб , р- довіл.

З цього випливає , що якщо ряд збіжний , то його n-тий член прямує до 0 при (це є необх умова збіжн.)

При р=1 . Це озн. не буде дост. для ряду.Необхідна і достатня ознака збіжності ряду.

Теорема: Дано ряд Щоб ряд був збіжний необх. і достат., щоб послідовність його частинних сум була обмежена , тобто

Довед. Необх. Якщо ряд збіжний ,то .Оск. послідовність має границю, то ця послід. обмежена.

Дост. Дано, що послідовність обмежена , причому . Оскільки послідовність монотонно зростає і є обмеженою , то вона має границю. Теорему доведено.

Ознаки збіжності додатніх рядів

Ряд , де – називається додатнім. Додатній ряд завжди має суму; ця сума буде скінченною (і, відповідно, ряд – збіжним), якщо частинні суми ряду обмежені зверху, і нескінченною (а ряд – розбіжним) в протилежному випадку.

. I Якщо маємо (1) (2) і починаючи з деякого номера для всіх , і для всіх , то із збіжності ряду (2) слідує збіж. ряду (1), а із розбіж. (1) – розбіж. (2). II Якщо то 1) при із збіжності ряду (2) слідує збіж. (1); 2) при із розбіж. (1) слідує розбіж (2); 3)Якщо ряди одночасно збіжні або розбіжні.

Гранична озн. Раабе. Якщо то ряд (1) збіжний. Якщо то ряд (1) розбіжний.

Інтегральна ознака Маклорена. Якщо ряд (1) такий, що по можна знайти функцію таку, що , і спадна, тоді і ряд )одночасно збіжні або розбіжні. Дов. Послабимо умови: замість неперервності на кожному проміжку [1,b], то (2) і ряд (1)збіжні і розбіжні одночасно. Нехай маємо і ряд такий щоб викон. необх. умова. , , , проінтегруємо кожну нерівність у тому проміжку, де вона має зміст:

запишемо:,

перейдемо до границі в (**):(***). 1. Припустимо, що ряд (1) збіжний. Нехай . З (***) існування і обмеж.зверху числом А.Ряд і інтеграл одночасно збіжні.

. 2. Нехай збіжний. Існує збіж. границя скінченна і ряд (1) збіжний. 3. Нехай (1) розбіжний. Це означає, що , тому , . Отже, ряд розбіжний.

Нехай розбіжний, то . За означенням, тому і ряд розбіжний. Ознака доведна.

III. Якщо починаючи з деякого номера для всіх номерів виконується нерівність , то із збіжності ряду (2) слідує збіж. (1), із розбіж. (1) – розбіж. (2).

Ознака Даламбера. Якщо починаючи з деякого номера для всіх номерів то ряд (1) збіжн. Якщо починаючи з деякого номера для всіх номерів то ряд розбіжний. Дов. Доводиться з допомогою ознаки порівняння III (або I). Ряд порівнюють з геом. прогресією. тоді . , . Тому за ознакою III ряд (1) збіжний.

Гранична озн. Даламбера. Якщо існує , то ряд (1) збіжний.. Якщо , то ряд (1) розбіжний.. Якщо , то про збіжність чи розбіжність не можна судити за цією ознакою.

Озн. Коші. Розгул. варіанта Коші .Якщо, починаючи з деякого номера то ряд (1) збігається. Якщо, починаючи з деякого номера , то ряд (1) розбіжний. Дов.1) Нехай починаючи з деякого номера , тоді , , – не відємна, але <1. Тоді ряд (1) порівнюєть ся із збіжною геометричною прогресією, і за першою озн.рорівняння, ряд збігається. 2) Якщо, починаючи з деякого номера . Не викон. необх. Умова збіжності ряду, не прямує до 0, то ряд (1) розбіжний.

Гранична ознака Коші. Якщо , то ряд (1) збігається. Якщо , то ряд (1) розбіжний. Якщо , то про збіжність чи розбіжність не можна судити за цією ознакою.

Ознака Раабе. Розгл. Варіанта Раабе . Якщо, починаючи з деякого номера , то ряд (1) збіжний. Якщо , то ряд розбіжний.