дає змогу знайти точний розв’язок системи (1) за допомогою скінченого числа арифметичних операцій. При цьому припускається, що всі обчислення проводяться точно, а коефіцієнти системи і вільні члени є точними числами. Проте на практиці при виконанні арифметичних операцій, зокрема ділення, майже завжди доводиться заокруглювати числа. А при наявності ірраціональних коефіцієнтів та вільних членів доводиться їх заміняти раціональними числами. Тому розв’язки, які знайдені точними методами часто є наближеними числами з певною похибкою. До точних методів належать метод Гаусса, метод квадратних коренів, метод Крамера, матричний метод.
Метод називається наближеним або ітераційним, якщо він дає змогу знайти наближений розв’язок системи(1) із наперед заданою точністю зі шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій.
Точний розв’язок системи(1), знайдений за допомогою ітераційного методу, знаходять як границю збіжної числової посл-ті. Розвязок системи знайдений за будь-яким методом, крім похибок заокруглення, містить похибки самого методу. До наближених методів належать метод Зейделя і метод ітерацій.
На практиці широко використовується метод Гаусса. Інакше називають метод послідовного виключення невідомих. Розглянемо одну із модифікацій методу – метод єдиного ділення. За цим методом розв’язуємо СЛАР у два етапи:
На першому етапі вихідну систему зводять до рівносильної їй системи східчастого вигляду. Цей процес перетворення називається прямим входом.
На другому етапі, що називається зворотнім ходом знаходимо розв’язок одержаної системи.
Не зменшуючи загальності, розглянемо метод Гаусса на системі з 3-х рівнянь і 3-х невідомих.
a11x1+ a12x2+ a13x3=а14
a21x1+ a22x2+ a23x3=а24 (2)
a31x1+ a32x2+a33x3=а34.
Припустимо, що система є сумісню і визначена, тобто ??0. Нехай коефіцієнт а11?0, тоді виключимо змінну х1 із 2-го і 3-го рівняння системи (2). Для цього перше рівняння поділимо на коефіцієнт a11, одержимо:
х1+а12(1)х2+ а13(1)х3= а14(1), де , j=2,3,4.
Верхній індекс означає порядок перетворення рівняння. Домножимо перше рівняння на аі1 і віднімемо його від 2-го і 3-го рівняння відповідно. В результаті одержимо систему 2-х рівнянь:
а22(1)х2+ а23(1)х3= а24(1)
а32(1)х2+ а33(1)х3= а34(1), де аij(1)=aij-a1j(1)ai1, i,j=2,3,4. (3)
Виконаємо аналогічні перетворення із системою (3). Поділимо перше рівняння на а22(1)
х2+ а23(2)х3= а24(2), де , j=3,4.
Виключимо х2 з 2-го рівняння системи (3): помножимо одержане рівняння на а32(1) і віднімемо від 2-го рівняння:
сх3= а34(2), а3j(2)=a3j(2)-a2j(1)a32(1), j=3,4.
Знайдемо х3 з останнього рівняння:
х3= а34(3),
В результаті одержимо систему східчастого вигляду:
х1+а12(1)х2+ а13(1)х3= а14(1),
х2+ а23(2)х3= а24(2), (4)
х3= а34(3).
Система (4) рівносильна системі (2), оскільки ми використали елементарні перетворення рівнянь. Прямий хід завершено, при чому елементарні перетворення можна виконати, якщо a11?0, а22(1)?0, а33(2)?0.
4 Розв’язування систем алгебраїчних рівнянь методом ітерацій. Достатня умова збіжності методу ітерацій для систем алгебраїчних рівнянь та оцінка похибки методу
Метод простої ітерації.Розглянемо с-му з n рівнянь з n невідомими:
(1)
Представимо с-му у матричному вигляді: A= (2)
Нехай всі елементи (і=) матриці А відмінні від 0. Залишимо в лівій частині р-ня с-ми діагональні елементи і кожне р-ня поділимо на одержимо:
Запишемо с-му у матричній формі:
(- це вектор стовпець) (3)
б=
С-му (3) наз. зведеною с-мою послідовного наближення для відшукання розв. с-ми (3) будують за формулами:
(4)
За початкові наближення , як правило обирають вільні члени. Якщо послідовність є збіжною, то границя є розв. с-ми (3).
Переконаємось в цьому: Дійсно видно, що , яке знаходимо за допомогою границі є розв. с-ми (3). Метод послідовних наближень, які визначають за допомогою ф-мул (4) метод простої ітерації, або метод ітерації.
Праву частину с-ми (3) можна розглядати, як деяке відображення. Оператор ц, який відображає вектор в n-вимірному просторі у вектор , який визначається за формулою: . Тоді відшукання розв.с-ми (3) зводиться до відшукання нерухомої точки відображення ц. (Нерух. т. ). Якщо відображення ц є стискуючим, то розв. р-ня можна знайти за методом послідовних наближень з довільним поч. вектором. Розглянемо випадки при яких відображення ц буде стискуючим. Поняття стискуючого оператора залежить від самого оператора, а також від вибору метрики n-вимірного простору. Розглянемо 3 випадки вибору метрики:
1.Нехай відстань між векторами і визнач. за формулою:
Знайдемо
Отже, оператор ц буде стикуючим, коли , (5)
Якщо <1,то з принципу стискуючих відображень р-ня (3) має єдиний корінь.
2. Нехай метрику введемо за формулами:
Відображення ц буде стискуючим, якщо викон. нер-сть:
(6)
Якщо ум(6) викон.,то за прин-м стискуючого відоб-ня(3) буде мати єдин.розв.
3. Визначимо відстань між та за допомогою формули:
(7)
Якщо умова (7) викон. , то відобр. ц є стискаючим і за принципом стискаючого відображення р-ня (3) має єдиний корінь.
Т1.Якщо матриця б с-ми р-нь (3) задовольняє одну з умов (5)-(7) (<l1<1, 0<l2<1, 0<l3<1), то с-ма (3) має єдиний розвязок , який можна знайти, як границю , побудованої за допомогою рекурентних формул (4) почин. з довільного поч. наближення .
Т2.Якщо елементи матриці А задов. одну з умов:
,, , то с-ма р-нь (1) має єдиний розв. , який можна одержати, як границю послідовності побудованої за формулами:
Починаючи з довільного початкового наближення .
Теореми 1-2 дають достатні умови збіжності, тобто при невиконанні цих теорем, ще не означає розбіжність методу простої ітерації.
Оцінка похибки методу простої ітерації визнач ф-лою: , де визнач. за формулою (5), (6), (7).
Процес простої ітерації, який збігається має важливу властивість самовиправлення тобто окрема помилка при обчисленні не позначається на кінцевому результаті, оскільки хибні наближення можна розглядати, як початкові.
5 Розв’язування систем нелінійних рівнянь методом Ньютона.
Нехай дано с-му 2-ох нелінійних р-нь:
Нехай відомо k наближень, тоді за більш точні їхні значення можна прийняти:
тоді с-ма буде мати вигляд:
Розкладемо ф-ції f і ц у ряд Тейлора по степенях і :
де і містять величини вищого порядку малості,