Якщо похідна ф-ї невідома, але є табл. різниці ф-ї до n+1 порядку включно, то залишковий член можна подати у виг-ді:

7. Постановка задачі чисельного диференціювання. Чисельне диференц. на основі інтерполяційних формул Лагранжа та Ньютона. Оцінка похибки цих інтерполяційних формул.

Чисельне диференц. використовують якщо ф-я f(x) задана таблично, або знайдена похідна має складний аналітичний вигляд, що заважає для подальшого дослідження. Нехай ф-ю f(x) задано таблично на інтервалі [a,b]. Представимо її у вигляді деякого інтерполяційного многочленна: f(x)=Pn(x)+Rn(x) (1) де Rn(x) – залишковий член. Нехай ф-я Pn(x) - к-раз неперервно продифиренц. ф-я. Тоді ми можемо к-раз продиф. рівність (1):

f?(x)=Pn?(x)+Rn?(x) f?(x)=Pn?(x)+Rn?(x) ……………… fk(x)=Pnk(x)+Rnk(x)

За чисельне диференц. вибирають формули:

f?(x)=Pn?(x) f?(x)=Pn?(х) ………….. fk(x)=Pnk(x)

При чому залишковий член ri(x) (i=1…k) не завжди є малою величиною

ri(x)= fі(x)- Pnі(x).

Нехай ф-я f задана на відрізку [a,b]. Таблично yi=f(xi), де xi рівновіддалені.

Запишемо для ф-ї f першу інтерполяційну формулу Ньютона:

f(x)=Pn(x)=y0+t?y0++…+

t=;

Шукаємо похідну:

f?(x)=

f?(x)= Pn?(x)=

f?(x)= Pn?(x)=

У чисельному диференц. 1-шу інтерполяційну ф. Ньютона викор. якщо шукають похідні f?(x) і f?(x) у т.х, які знаходяться між х0 і х1

Формули чисельного дифер. значно скорочуються, якщо похідні шукаються у вузлах інтерполяції. Оскільки кожен вузол може приймати за х0 (t=0)

f?(x)= Pn?(x)=

f?(x)= Pn?(x)=

Оскільки залишковий член інтерполяційного многочленна Н. має вигляд:

Rn(x)=; о – лежить між x0, x1, …..xn,x.

Припустимо, що ф-я f має n+2-гу похідну. Тоді, щоб знайти r1(x), продиференціюємо Rn(x):

r1(x)=

Нехай т. диференц. співпадає з вузлом інтерполяції, тоді t=0, одже:

r1(x)= - залишковий член перш. пох. f?(x) обмеженої в т х0

Якщо шукаємо похідну ф-ї f(х) у точках х, які знаходяться між xn-1 i xn, то використ. розклад ф-ї за 2-ю інтерполяц. ф. Ньютона:

f(x)=Pn(x)=

t= h=

f(x)=Pn(x)=.

f?(x)=

f?(x)=

Залишковий член Rn(x) знаходять аналогічно, як і попередній

Нехай ф-я f(x) задана на [a;b], у вузлах xi (рівновіддалені ) своїми значеннями yi . Представимо ф-ю f(x) у вигляді інтерполяційного многочлена Лагранжа:

f(x)=Ln(x)=

Якщо вузли рівновіддалені, то зробимо заміну t=

Тоді інтерполяц. многочлен Лагранжа має вигляд:

P(x)=Ln(x0+ht)=

Продиференціюємо:

f?(x)=Ln'(x)=

f(k)(x)=Ln(k)(x)=

Залишковий член шукаємо аналогічно, як і для інтерполяційного многочленна Ньютона.

8. Пост. задачі чис-го інтег-ня. Чисельне інтегрування ф-ї однієї змінної м-м прямокутників, трапецій та методом Сімпсона. Похибки цих методів.

Нехай задано, що ф-я f(x) – неперервна на [a;b], розгул. інтеграл:I=. При знах-ні визнач. інтег. І, викор. методи, які умовно поділ. на аналітичні та чисельні. Анал-ні шукають наближено первісну F(x), і застосовують ф. Ньютона-лейбніца. Чис-ні методи викор. якщо задано ф-ю f(x) таблично.

Процес чисельного визначеного інтегралу наз. квадратурою, а відповідні формули – квадратурними формами.

При обчисленні інтегралу І чисельними методами, викор. знач ф-ї в т. xk і записують: І=

Ax і xk - відповідно наз. коефіц. і вузлами квадратурної формули, а сума – квадратурною сумою. Різниця між інтегралом І та квадратурною сумою наз. залишковим членом і познач.: R(f)=I-

Формули прямокутників

При виведенні квадратурних формул викор. означеня визначеного інтеграла

I=

При чому, ця границя не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на n – частин і від способу вибору т. . За квадратурну формулу приймаємо:

I= (1)

яка наз. заг. квадратурною ф. прямокутників.

Геометрична інтерпретація ф.(1) : площа криволінійної трапеції заміняється пощею ступінчастої фігури, яка склад. з прямокутників

Оскільки вибір розбиття і т. довільний, то нехай відстань між т. становить h=, тоді квадратурна ф. (1) набуде вигляду: I=h

При дов. виборі т. можливі такі випадки:

Нехай = xk-1, тоді квадрат. ф.:

I=h - квадратурна ф. лівих прямокутників.

2) = xk; I=h- квадратурна ф. правих прямокутників.

3) I=h - квадрат. ф. серд. прямокутників. Формула 3-го випадку дає кращі наближення ніж 1 і 2.

Оцінка похибки квадратурної ф. прямокутників:

Розглянемо визнач. інтеграл

(2) при достатньо малому h>0,

По ф. Тейлора можна записати: ; х – довільна; - деяка фіксована т. на інтервалі ()

Підставляючи f(x) в (2) маємо:

(3)

де

Добуток hf(0) в (3) можна оцінити як наближення до інтеграла І у ф. прямокутників в випадку всього одного елементарного відрізка. Другий добуток є локальною похибкою ф. прямокутників . Повернемося до знаходження значення І інтеграла при f(x)

(4) то

;

Одержимо квадратурну формулу прямокутників:

=h2;

Формули трапецій

Розглянемо відрізок [x0, x0+h] на якому ф-я f(x) двічі неперервно диференційована. Розглянемо інтеграл . Розкладемо ф-ю f(x) в інтерполяційний многчлен Лагранжа, степеня 1 , графік якого проходить через точки:

(

f(x)=

)

Про інтегруємо рівність в межах від х0 до х0+h

Одже квадратурна формула буде тоді мати вигляд:

(2)

Ф.(2) наз. квадратурною формулою трапецій.

Залишковий член:

Якщо непер. на відр [x0, x0+h], то за теоремою про середнє значення визначеного інтеграла будемо мати:

Одже оцінка похибки залишкового члена має вигляд:

Щоб обислити наближене значення поділимо відрізок [a,b] на n рівних частин довжиною і до кожного з відрізків (k=0,…n-1) застосуємо формулу трапецій. Тоді

=, де

Відкинувши залишковий член, одержимо квадратурну формулу

= ,

Яка наз. узагальненою ф. трапецій

Щодо залишкового члену: якщо - непер. на [a,b] то існує така т.

тоді

, а похибка

;

Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з наперед заданою точністю то досить відрізок [a,b] поділити на n рівних ч. так, щоб виконувалась нерівність

Формула Сімпсона

Побудуємо триточкову квадратурну формулу з