1
1. Різні способи задання прямих та площин в просторі. Взаємне розміщення двох прямих, прямої та пощини.
Пряма в просторі
M
Нехай задана точка і напрямний вектор
Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і яка // вектору . М(x,y,z) біжуча точка.
– канонічне рівняння прямої в просторі.
– параметричні рівняння прямої в просторі. – параметр.
Канонічне рівняння задає пряму, як перетин трьох площин, кожна з яких паралельна координатній осі.
– рівняння прямої, що проходить ч/з дві точки в просторі.
//Пряма на відрізках-осях(x/a+y/b=1);ч-з т. Перпенд. Напрямку(a(x-x0)+b(y-y0));
ч-з задану т. Під зад. Кутом(y=y0+k(x-x0) або y=kx+b, де k=tg(a))
Дві прямі в просторі
Задані дві прямі:
;
Умова паралельності:
(1’)
Якщо крім (1’) виконується також рівність (2’), то прямі співпадають:
Умова перетину прямих:
.
Площина в просторі
n(a,b,c)
M
- вектор нормалі цієї площини.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 – канонічне р-ня площини; де n(A,B,C)-вектор нормалі даної площини, M(x0,y0,z0) – точка даного простору
; – канонічне р-ня площини;
;n(a,b,c)-вектор нормалі, перпендикуляр до площини.
Для вектора n і т.M існує тільки одна площина перпендик. n і яка містить M.
// 2 колінеарні вектори і точка (M0M*u*v)=0, u,v - колінеарні
Через 3 точки, що не лежать на 1 прямій можна провести площину:
x/a+y/b+z/c=1 – р-ня площини у відрізках на осях.
Площини з нормалями n1(a,b,c) і n2(A,B,C) перпендикулярні, якщо n1*n2=0, a*A+b*B+c*C=0;
Площини з нормалями n1(a,b,c) і n2(A,B,C) паралельні, якщо n1 і n2 –колінеарні(паралельні деякій прямій), a/A=b/B=c/C;
Пряма і площина в просторі
(паралел)
(перпендик)
d;
2)
2’) якщо крім цього
1)
1’) – колінеарні. .
– кут між прямою і площиною.
2. Основні алгебраїчні структури: група, кільце, поле.
а)Група
Непорожня множина із визначеною в ній бінарною операцією , в якій визначена асоціативна операція, називається півгрупою. Півгрупа, в якій існує одиничний (нейтральний) елемент, називається моноїдом. Одиничний елемент позначають е: для будь-якого gG [ge = eg = g]. Моноїд, кожен елемент якого оборотний, називається групою. Оборотним називається такий елемент множини, для якого в цій множині існує обернений. Оберненим до елемента gG називається такий елемент g-1 цієї ж множини, для якого gg-1= g-1g = e.
Повне означення групи: Непорожня множина G, на якій визначено бінарну операцію , називається групою, якщо виконуються наступні умови:
операція
асоціативна;
в множині G існує одиничний елемент ;
кожний елемент g
G множини G оборотний.
Якщо операція , визначена в групі, є комутативною(переставний закон аб=ба), то група G називається комутативною або абелевою.
Група G називається скінченною, якщо кількість її елементів (порядок групи) скінченна.
Непорожню підмножину H групи G називають підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в групі G.
Перевірка того, чи непорожня підмножина Н групи G є підгрупою групи G, включає:
чи містить Н разом із будь-якими своїми елементами g1 та g2 і результат операції між ними, тобто елемент g1
g2;
чи містить Н разом із будь-яким своїм елементом g і обернений йому елемент g-1.
Підгрупа, що складається з усіх степенів елемента gG, називається циклічною підгрупою групи G, породженою елементом g. Позначається <g>.
Група G називається циклічною, якщо вона складається тільки зі степенів одного із своїх елементів g, тобто збігається з однією із своїх циклічних підгруп <g>. Елемент g називають твірним елементом циклічної групи <g>. Кожна циклічна група є абелевою.
б) Кільце
Непорожня множина К, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:
множина К є адитивною абелевою групою;
множина К є мультиплікативною півгрупою;
операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто
a,b,cєK [(a+b)c = ac+bc; c(a+b) = ca+cb]. Позначається (К,+, *).
Кільце називають комутативним, якщо операція множення в кільці комутативна.
Ненульове кільце, в якому є одиничний елемент е, називають кільцем з одиницею.
Елементи а,b кільця К називаються дільниками нуля, якщо аи, bи, але ab = и.
и – нульовий елемент кільця.
Підмножина К1 кільця К називається підкільцем кільця К, якщо К1 є кільцем відносно операцій додавання і множення, визначених в кільці К.
в)Поле
Комутативне кільце з одиницею, в якому кожен ненульовий елемент є оборотним, називається полем. Позначають (Р,+, *).
Поле (Р,+, *) являє собою поєднання в тій самій множині Р двох абелевих груп – адитивної (Р,+) та мультиплікативної (Р\{0},*).
Характеристикою поля Р називають:
число нуль, якщо ne=и лише при n=0;
натуральне число р, якщо pe = и і немає такого кєN, меншого ніж р, що ке = и.
Підмножину Р1 поля Р називають підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно бінарних операцій, визначених у полі Р. Поле Р при цьому називають розширенням поля Р1.
3. Системи лінійних рівнянь та способи їх розв’язуванняю.
Рівняння з n невідомими х1,х2,…,хп називається лінійним, якщо його можна подати у вигляді:
а1х1+а2х2+…+ апхп= b , (1)
де а1,а2,…,ап– коефіцієнти, b – вільний член рівняння (дійсні числа).
Сукупність записаних в певному порядку чисел називається розв’язком рівняння (1), якщо після заміни в ньому невідомих хі відповідними числами (і=1,2,…,п), воно перетворюється в правильну рівність.
Розглянемо систему m лінійних рівнянь з п невідомими:
(2)
Розв’язком системи лінійних рівнянь називається така сукупність записаних у певному порядку чисел , що кожне з рівнянь системи (2) перетворюється на правильну рівність після заміни в ньому невідомих хі відповідними числами (і=1,2,…,п).
Способи розв’язування систем лінійних рівнянь
а) Метод Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь
Запишемо розширену матрицю системи(2), відокремивши стовпчик вільних членів. Застосовуючи елементарні перетворення рядків, зведемо дану матрицю до ступінчастого вигляду(до верхньої або нижньої трикутної матриці).
Із вигляду ступінчастої матриці можна зробити висновок про сумісність(чи має розв’язок чи ні) та визначеність(має 1 розв’язок чи кілька) с-ми (2):
Розв’язати систему
б) Метод Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь
Правило Крамера:
Якщо визначник d системи