n лінійних рівнянь з n невідомими відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок: , де – визначник, отриманий із визначника d заміною його і-го стовпчика стовпчиком вільних членів системи.
Наслідок. Система n лінійних однорідних рівнянь з п невідомими тоді і тільки тоді має розв’язки, відмінні від нульового, коли визначник цієї системи дорівнює нулю.
в) Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь
Матриця А-1 називається оберненою для квадратної матриці А, якщо АА-1=А-1А=Е. Тут Е – одинична матриця.
Матрична форма запису системи лінійних рівнянь
Для системи m лінійних рівнянь з п невідомими
вводяться наступні позначення:
Тоді система лінійних рівнянь запишеться у вигляді матричного рівняння АХ=В. Це рівняння називають матричною формою запису систем лінійних рівнянь.
Отже, якщо вихідне матричне рівняння із невиродженою матрицею А має розв’язок, то він єдиний і задається формулою Х*=А-1В, де
4. Лінійна залежність та ранг системи векторів.
Вектори а1, а2,…,аk векторного простору V називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа одночасно не рівні нулю, що
В іншому випадку вектори називають лінійно незалежними.
Якщо вектори а1,а2,…,аk лінійно залежні, тобто , і, наприклад, то
тобто
де
Це означає, що вектор аk є лінійною комбінацією решти векторів системи. Отже, якщо вектори а1, а2,…,аk лінійно залежні, то, принаймні, один із них лінійно виражається через решту. Ясно, що справедливе і зворотнє твердження.
Максимальна кількість лінійно незалежних векторів системи векторів а1, а2,…,аk називається рангом цієї системи. Позначають rank{ а1, а2,…,аk}.
Довільна матриця містить дві системи векторів:
систему векторів – рядків {а1,а2,…,аm} і систему векторів – стовпчиків
, де аі=(аі1,аі2,…,аіп), і=1,2,…,m, , j=1,2,…,n.
Ранг системи рядків довільної матриці А дорівнює рангу її стовпчиків і називається рангом матриці А. Позначається rankA або r(A).
Таким чином, для знаходження рангу матриці досить з допомогою елементарних перетворень над рядками (стовпчиками) звести її до ступінчастого вигляду і підрахувати кількість ненульових рядків (стовпчиків), яка й дорівнюватиме кількості лінійно незалежних серед них, а, отже, рангу матриці.
5. Векторний простір його розмірність і базис. Підпростори теорема про суму їх розмінностей.
Множина V елементів x, y, z,… називається лінійним(векторним) простором, якщо сума х+у довільних двох її елементів х, у і добуток бх кожного її елемента х на будь-яке число б теж належать множині V, причому виконуються 8 аксіом:
0 – називають нульовим елементом.
–х називають елементом, протилежним до х.
1·х=х.
Елементи векторного простору називають векторами.
Приклади векторних просторів.
Множина многочленів не вище п-го степеня з дійсними коефіцієнтами.
Множина розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь.
Множина всеможливих рядків, які містять п дійсних чисел.
Розмірністю векторного простору V називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Позначається dimV
(від dimage-фр).
Базисом простору V називають впорядковану скінченну систему векторів, якщо:
вона лінійно незалежна;
кожний вектор простору V є лінійною комбінацією векторів цієї системи.
Підпростором векторного простору V називається сукупність V1 його елементів, яка сама є векторним простором відносно введених в V операцій додавання і множення на число.
Для встановлення того, що деяка підмножина V1 векторного простору V є його підпростором, досить показати, що для довільних двох векторів х та у із V1 їх сума х+у теж належить V1, і що для довільного вектора і довільного добуток теж належить V1.
Сумою двох підпросторів V1 і V2 називається множина векторів вигляду де Сума теж є підпростором і позначається V1+V2.
Теорема. Якщо V1 і V2 – підпростори векторного простору V, то
// dim(A+B)=dim(A)+dim(B)-dim(A і B), де A+B-обєднання множ. A і B-перетин
6. Лінійні оператори дійсних векторних просторів,їх матриці ранг і дефект.
Кажуть, що в лінійному просторі V задано перетворення А, якщо кожному вектору поставлений у відповідність деякий вектор А(х) (пишуть Ах). Вектор Ах називають образом вектора х.
Перетворення А називається лінійним, якщо для довільних двох векторів х та у із V і довільного дійсного числа б виконуються рівності:
А(х+у)=Ах+Ау, 2)А(бх)=бАх.
В кожному лінійному перетворенню А в заданому базисі е відповідає цілком певна матриця
стовпчиками якої є коефіцієнти розкладу векторів Аеі (і=1,2,…,п) за базисом е і рядками якої є коефіцієнти розкладу вектора Ах за координатами вектора х.
Ясно, що в п-вимірному векторному просторі V кожна квадратна матриця п-го порядку є матрицею деякого лінійного перетворення(матриця А).
Сукупність всеможливих векторів вигляду Ах, де , називається областю значень або образом лінійного перетворення А. Позначається ImА.
Сукупність всеможливих векторів , для яких Ах=0, називається ядром лінійного перетворення А. Позначається KerА.
І образ, і ядро лінійного перетворення А є підпростором в V.
а) Якщо то х=Ах1, у=Ау1, де то х+у=Ах1+Ау1=А(х1+у1), де і, значить, .
бх=бАх1=А(бх1), де і, значить, .
Отже, ImА – підпростір простору V.
б) Якщо , тобто якщо Ах=0 і Ау=0, то і
А(х+у)= Ах+Ау=0+0=0 і А(бх)=бАх=б·0=0,
тобто і Отже, KerА – підпростір простору V.
Розмірність образу перетворення А dim(ImА) співпадає з рангом матриці А цього перетворення і називається рангом перетворення А. Дійсно, підпростір ImА породжується векторами Ае1, Ае2,..., Аеп, де е={e1, e2,…,en} – довільний базис простору V і, значить, розмірність ImА дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних стовпчиків матриці А.
Розмірність ядра dim(KerА) називається дефектом лінійного перетворення А.
Важливим є твердження, що сума рангу і дефекту лінійного перетворення А дорівнює розмірності п простору V. Тобто,
dim(ImА)+dim(KerА)=n.
7. Власні вектори і власні числа лінійних операторів
Вектор називається власним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке число л, що Ах=лх. Число л називається власним значенням перетворення А, яке відповідає власному вектору х.
Якщо власні вектори е1, е2, …, еп прийняти за базисні, то із