така матриця називається діагональною). Ясно, що правильне і зворотне: якщо матриця перетворення А в деякому базисі є діагональною, то всі вектори цього базису будуть власними векторами перетворення А.

Розглянемо знаходження власних значень і власних векторів лінійного перетворення.

Нехай, що х – власний вектор, а л – відповідне йому власне значення лінійного перетворення А. Тоді Ах=лх. Виберемо в просторі V довільний базис е={e1,e2,…,en}, і нехай х=х1е1+х2е2+...+хпеп, а матриця лінійного перетворення А у вибраному базисі має вигляд:

Тоді із пункту а) випливає:

Ах=(а11х1+а12х2+…+а1пхп)е1+(а21х1+а22х2+…+а2пхп)е2+…
+(ап1х1+ап2х2+…+аппхп)еп=

=лх=л(х1е1+х2е2+...+хпеп)= л х1е1+ л х2е2+...+ л хпеп .

Звідси із лінійної незалежності векторів e1,e2,…,en випливає:

а11х1+а12х2+…+а1пхп=лх1,

а21х1+а22х2+…+а2пхп=лх2,

………………………………

ап1х1+ап2х2+…+аппхп=лхп,

звідки:

Для існування ненульового розв’язку цієї однорідної системи необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю:

Ліва частина останньої рівності являє собою многочлен п-го степеня відносно л, який називається характеристичним многочленом перетворення А в базисі е. Він є визначником матриці А-лЕ.

Таким чином, доведено, що кожне власне значення перетворення А є коренем його характеристичного многочлена. І навпаки, кожний корінь характеристичного многочлена перетворення А буде його власним значенням (відповідні власні вектори знаходяться із останньої системи, яка в даному випадку рівності визначника нулю обов’язково має ненульові розв’язки).