v(u’+pu)+uv’=Qumvm.

Звідні: 1)f’(y)y’+p(x)f(y)=q(x) Заміна z=f(y); z’=f’(y)y’; z’+p(x)z=q(x)-лінійне

2)y’+p(x)=q(x)eny Домнож. На ne-ny ; заміна z= e-ny; z’=-ne-nyy’; -z’+np(x)z=nq(x);

z’-np(x)z=-nq(x)

2-а) Рівняння, інтегровані у квадратурах, і рівняння, які допускають зниження порядку.

Загальний вигляд:F(x,y’,y’’,…,y(n))=0; F(x,y,y’,y’’,…,y(n))=0;

1)F(x,y(n))=0 ;

Випадок 1: y(n)=f(x); Якщо f(x) неперервна в інтервалі (a,b).

y(n-1)=xx0f(x)dx+c1 , x0(a,b)

y(n-2)=xx0xx0f(x)dxdx+c1(x-x0)+c2 , x0(a,b)

…

y=xx0...xx0f(x)dx...dx+(c1/(n-1)!)*(x-x0)n-1+...+cn-1(x-x0)+cn - загальн. розвязок

n n

Випадок 2: коли у(n) не виражається або вираз складний, то нехай x=(t), y(n)=(t)

F((t), (t))0; y(n-1)= (t)’(t)dt+c1Ф1(t,c1); y=Фn(t,c1,…,cn);

Заг. Розвязок: x=(t), y=Фn(t,c1,…,cn);

Рівняння, яке не містить шуканої функції та кількох послідовних похідних.

Розглянемо диференціальне рівняння

(1)

Якщо ввести нову невідому функцію за формулою , (2)

то рівняння (1) можна записати у вигляді

(3)

Отримане рівняння (3) має -ий порядок, тобто за допомогою заміни (2) вдалося понизити порядок рівняння (1) на k одиниць.

Припустимо, що розв’язуючи рівняння (3), нам вдалося знайти його загальний розв’язок . Тоді, враховуючи (2), для знахо-дження функції отримуємо рівняння k-го порядку , (4)

яке розглядалось на лекції 9 (формула (10)). Інтегруючи рівняння (4), одержимо ще k довільних сталих. Таким чином, одержимо

. Якщо є загальним інтегралом рівняння (3), то при-хо-димо до рівняння вигляду , яке вивчалось раніше (лекція 9, формула (9)). Якщо це рівняння допускає параметричне представлен-ня, то отримаємо загальний розв’язок (у параметричній формі) за допомогою k довільних сталих.

Рівняння, яке не містить незалежної змінної.

Це рівняння вигляду

(8)

Введемо нову функцію z за формулою , вважаючи у новою незалежною змінною, тобто . Виразимо похідні через функцію z та її похідні за змінною y. Будемо мати:

,

… ,

.

Тому рівняння (8) набере вигляду

(9)

Це рівняння -го порядку. Якщо – його загальний розв’язок, то з знаходимо загальний інтеграл рівняння (8). При цьому як і рівняння (9), так і останнє рівняння можуть мати особливі розв’язки, що може привести до особливих розв’язків рівняння (8).

2-б)Лінійні однорідні диф. р-ня n-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

y(n)+P1y(n-1)+…+P2y=0 (1)

Р-ня виду (1), де Рі-const називається лінійним однорідним диф. n-го порядку із сталими коефіцієнтами. Щоб знайти розв’язок цього р-ня достатньо знайти фундаментальну с-му розв’язків цього р-ня. Будемо шукати частинні розв’язки у вигляді y=ekx

y’=kekx Pn

+ y”=k2ekx Pn-1

…………………….

+ y(n)=knekx 1

підставимо у р-ня (1) і отримаємо

ekx(kn+P1kn-1+…+Pn)=0 | :ekx

kn+P1kn-1+…+Pn=0 (2)

Р-ня (2) називається характеристичним р-ням р-ня (1). Його можна одержати, якщо замість похідної поставити відповідний степінь k. Р-ня (2) – це р-ня n-го порядку має рівно n коренів враховуючи їх кратність.

Нехай р-ня (2) має коренями числа k1, k2, …, kn, які є попарно різні і дійсні. Тоді ф-ції є розв’язками р-ня (1). Вони утворюють фундаментальну систему розв’язків. Тому загальний розв’язок матиме вигляд:

Нехай серед коренів характеристичного р-ня є комплексні корені k1=б+iв тоді це р-ня має і комплексно спряжений корінь k2=б-iв. Тоді за ф-лою Ейлера eiц=cos ц+i sin ц

y1=у(б+iв)x=eбx eiвx= eбx cos вx+i eбx sin вx

y1=у(б-iв)x=eбx e-iвx= eбx cos вx-i eбx sin вx

Тоді розв’язком нашого р-ня є дійсні ф-ції eбxcos вx, eбxsin вx. Вони утворюють фундаментальну систему розв’язків, вони лінійно незалежні, тому для кожної пари комплексно спряжених коренів б±iв будем мати пару ф-цій eбxcos вx, eбxsin вx.

Нехай тепер характеристичне р-ня має кратні корені. Тоді дістанемо менше ніж n частинних розв’язків р-ня(1) і тому вони не можуть утворювати фундаментальну систему розв’язків і ми не будем мати загального розв’язку цього р-ня. Знайдемо спосіб побудови фун. с-ми розв. Позначимо ліву частину р-ня (2) як деяку функцію від k: ц(k)=kn+P1kn-1+…+Pn

Будемо шукати розв’язки р-ня (1) у вигляді:

Pn y=ekxu

Pn-1 y’=ekx(ku+u’)

Pn-2 y”=ekx(k2u+2ku’+u”)

y”’=ekx(k3u+3k2u’+3ku”+u”’)

………………………………….

1 yn=ekx(knu+nkn-1u’+n(n-1)kn-2u”/1*2+….+nu(n-1)+u(n))

Підставляючи в наше р-ня і скорочуючи на ekx одержимо:

(3)

Якщо многочлен має похідну m-го порядку. Якщо k1 є коренем кратності m1 характеристичного р-ня то всі похідні до (m1-1) порядку включно ф-ції ц(k)=0, ц’(k)=0, …, ; m1<n. Тоді р-ня (3) перепишеться у вигляді:

(4)

Тоді ф-ція y=ekxu буде розв’язком р-ня (1), якщо u буде задовольняти р-ня (4). Всі коефіцієнти при похідних функцій u відмінні від 0 то можемо вибрати ф-цію u такою, щоб

Найпростішими такими функціями є функції: u2=x, u3=x2, u4=x3, …,. Ці ф-ції є лінійно незалежні. Тоді будемо мати ф-ції: y1=ekx; y2=ekxx; y3=ekxx2;

Якщо k2 є коренем характ. р-ня кратності m2 ми утворимо систему ф-цій:

.

В загальному випадку маєм корені k1 кратності m1, k2 кратності m2, kj крат. mj причому m1+m2+…+mj=n. Будем мати систему ф-цій:

Ця с-ма ф-цій є лін. незалежна. n- лін. незал. частинних розв’язків утворюють фундаментальну с-му розв’язків.Тоді загальний розвязок р-ня (1) запишеться:

Якщо корені комплексні то є і спряжені. Якщо характеристичне р-ня має комплексні корені k1=б1+iв1 кратності m1 то він має обов’язково комп. спряжено . Замість с-ми ф-цій у відповідність комплексним ф-ціям можна взяти:

........................................

В загальному розв. р-ня цій парі комплексно спряжених коренів будуть відповідати доданки:

Таким чином ми матимемо алгоритм знаходження загального розв’язку лін. однор. диф. р-ня із сталими коефіцієнтами:

Скласти характеристичне р-ня і знайти його корені;

знайти частинні розвязки цього р-ня, що відповідає знайденим кореням характеристичного р-ня. При цьому врахувати:кожному з дійсних коренів кратності 1, наприклад k1 відповідає дійсний розв’язок кожній парі комплексних коренів б±і в кратності 1 відповідає пара дійсних частинних розв’язків р-ня (1) eбxcosвx; eбxsinвx. Кожен m кратний корінь, як дійсний так і комплексний дає m частинних розв’язків, які можна одержати з частинних розв’язків чи домноживши на 1, x,…, xm-1 множенням на довільні сталі цих розв’язків і додаванням одержаних результатів одержуєм загальний розв’язок р-ня (1).

2-в) Лінійні неоднорідні рівняння

Структура загального розв’язку неоднорідного рівняння.

Розгля-немо