(1)

і відповідне йому однорідне рівняння

. (2)

Теорема 1. Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1) дорівнює сумі будь-якого частинного розв’язку цього рівняння та загального розв’язку відпо-відного однорідного рівняння (2).

Доведення. Нехай Y – частин-ний розв’язок рівняння (1), тобто . Введемо нову невідому функцію за формулою

. (3)

Підставляючи (3) в (1) та враховуючи лінійність оператора L, одержуємо

.

Оскільки , то

, (4)

тобто – розв’язок лінійного однорідного рівняння (2).

Тоді, згідно з Основною теоремою, загальним розв’язком рівняння (4) є

,

де – деяка фундаментальна система розв’язків (ФСР) цього рів-няння, а , , – довільні сталі.

Підставимо цей розв’язок в (3). Будемо мати:

. (5)

Формула (5) містить n довільних сталих. Покажемо, що вона визначає загаль-ний розв’язок рівняння (1). Для цього, згідно з означенням загального розв’яз-ку, потрібно показати, що з (5) при належному виборі сталих , , можна одержати розв’язок, який задовольняє довільні початкові умови, тобто

.

Послідовним диференціюванням виразу (5) знаходимо

Підставимо в цю систему . Одержимо неоднорідну систему n лінійних рівнянь з n невідомими ,, визначником якої є . Оскільки – ФСР, то . Таким чином, , , з отриманої сис-те-ми визначаються однозначно, а тому розв’язок (5) справді є загальним.

Теорема 2. Нехай права частина неоднорідного рівняння (1) є сумою двох доданків, тобто це рівняння має вигляд

. (6)

Якщо – частинний розв’язок рівняння , а – частинний розв’я-зок рівняння , то сума є частинним розв’язком рівняння (6).

Доведення. Оскільки

,

то звідси випливає, що є частинним розв’язком рівняння (6).

Зауваження. Теорема 2 поширюється і на випадок n доданків.

Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). З теореми 1 випливає, що загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1) завжди можна знайти, якщо відомі загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (2) і будь-який частинний розв’язок рівняння (1).

Існує загальний метод знаходження частинних розв’язків неоднорідного рівняння (1) – метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). З’ясуємо суть цього методу.

Нехай маємо загальний розв’язок однорідного рівняння (2), тобто

, (7)

де – деяка ФСР рівняння (2), а – довільні сталі.

Частинний розв’язок рівняння (1) шукатимемо у вигляді (7), але розглядаємо не як довільні сталі, а як деякі функції змінної x:

. (8)

Виберемо тепер функції такими, щоб вираз (8) був загаль-ним розв’язком рівняння (1).

Диференціюючи (8), одержуємо

.

Виберемо функції такими, щоб

.

Тоді

.

Диференціюючи ще один раз, одержуємо:

.

Нехай

,

тоді

.

Продовжуючи диференціювати далі і вибираючи функції так, щоб

,

одержуємо

Диференціюючи останній раз, знаходимо:

Підставимо тепер у рівняння (1) вираз для y і знайдені вирази для :

.

Множники в дужках тотожно дорівнюють нулю, оскільки функції є частинними розв’язками рівняння (2). Отже, останнє рівняння запишеться так:

.

Таким чином, шукані функції задовольняють систему

Отримали неоднорідну систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими . Оскільки її визначником є вронскіан , то ця система має єдиний розв’язок . Інте-груючи, знаходимо функції , після чого їх залишиться підставити у формулу (8).

Метод невизн. коефіцієнтів.

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння n-го порядку

(1)

де -задана непенрервна при функція. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (1) має вигляд

де - загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного рівняння , а – деякий частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння.

Оскільки ми вже розглядали питання про знаходження розв’язку лінійного однорідного рівняння з сталими коефіцієнтами, то залишилось знайти частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Квазімногочленом називається функція де -задане комплексне число, – заданий многочлен степені m з комплексними коефіцієнтами.

Розглянемо рівняння

(2)

де - задане комплексне число, а - заданий поліном степені m.

Якщо число є серед коренів характеристичного рівняння

, (3)

то кажуть, що в рівнянні (2) має місце резонансний випадок. Якщо не є серед коренів рівняння (3), то кажуть, що має місце нерезонансний випадок.

Т:Рівняння (2) має частинний розв’язок вигляду

(4)

де – поліном такої ж степені, що і , s=0 в нерезонансному випадку і s рівне кратності кореня характеристичного рівняння (3).

Л:Якщо в рівнянні (1) всі коефіцієнти є дійсним і , де - поліноми з дійсними коефіцієнтами степені відповідно , то при цьому частинний розв’язок рівняння (1) має вигляд

(5)

Тут - поліноми степені m, s=0, якщо число не є серед коренів характеристичного рівняння (3), і s рівне кратності кореня характеристичного рівняння (3).

З:На практиці розв’язок лінійного неоднорідного рівняння з сталими коефіцієнтами шукають методом невизначених коефіцієнтів, тобто підставляють (4) (або, відповідно, (5)) у рівняння (1), вважаючи коефіцієнти поліномів невизначеними (невідомими).

При цьому, для знаходження цих коефіцієнтів одержується лінійна система, яка має єдиний розв’язок.

П-д. (а)

Загальний розв’язок будемо шукати у вигляді

,

де u(x) – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння

, (б)

-частинний розв’язок рівняння

, (в)

а – частинний розв’язок рівняння

. (г)

Спочатку розв’яжемо однорідне рівняння (б). Для цього запишемо відповідне йому характеристичне рівняння

.

Його коренями є: .

Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд

.

Розв’яжемо рівняння (в).

.

Оскільки контрольне число не є серед коренів характеристичного рівняння, то частинний розв’язок будемо шукати у вигляді

,

де А, В – невизначені коефіцієнти. Для їх знаходження підставимо у рівняння (в):

Тепер знайдемо розв’язок рівняння (г).

Тут .

Оскільки число є коренем характеристичного рівняння, і його кратність рівна 1, то частинний розв’язок будемо шукати у вигляді

,

де коефіцієнти D, E невідомі. Як і в попередньому випадку, для знаходження коефіцієнтів підставимо цей розв’язок у відповідне неоднорідне рівняння:

Таким чином, загальний розв’язок рівняння (а) має вигляд

2-г) Лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами.

(1). Поділимо на .

Заміна: (незалежнї змінної) , де - покищо невідома функція.

. Знайдемо похідні.

Знайдені похідні підставляємо в (1).

Для того, щоб останнє рівняння було рівнянням зі сталими коефіцієнтами, мусить принаймі бути .

Рівнянням Ейлера називається рівняння вигляду:

Заміна: