Випадок .

Підставляємо наші похідні у рівняння (2). Одержимо

.

В усіх доданках експоненти скорочуються. Без них отримали диференціяальні рівняння n – го порядку відносно функції y(t) із сталими коефіцієнтами. Розв’язавши це рівняння потрібно повернутися до змінної х, підставивши t=lnx.

Випадок x<0, то всі випадки аналогічні, крім х треба підставляти –х.

До рівняння Ейлера зводиться рівняння Лагранджа

Заміна:

Рівняння Чебишова.

.

В нашому випадку

.

3. Задача Коші для рівняння струни. Формула Даламбера.

У формулу рівняння струни входять довільні функції

Постановка задачі Коші

(1)-(3) – Задача Коші

- поч. ф-ї.

Умова (2) означає, що задано початковий профіль струни. Умова (3) виражає заданий початковий розподіл імпульсів.

Ф-я - двічі неперервно диференційована.

- неперервно диференційована.

Теорема

Розвязок задачі Коші (1)- (3) існує єдиний і подається формулою - формула Даламбера

Доведення Нехай ф-я - розвязок задачі (1)-(3)

в умові (2) підставимо , отримаємо

В умові (3) підставимо , перед тим продиференціювавши.

З рівності () випливає, що

На даному етапі доведено, що у випадку існування розвязок повинен представлятися формулою (4) і тому єдиний.Візьмемо праву частину формули (4), яку виведемо з вимоги, щоб задовольнити ці умови. Цим і доведено існування.

4. Метод Фур’є розв’язання краєвих задач для рівняння струни.

,

Розвязання першої крайової задачі

Нехай

Завдання полягає в тому, жоб розвязати задачу (1)-(7)

Задача (8)-(10) – задача Штурма-Ліувілля. Розвяжемо її:

Звідси випливає

– є розвязком рівняння (1) і задовільняє умови (6)-(7)

Розглянемо ряд . Припустимо, що він збіжний до функції . Тоді функція задовольняє умовам (1), (6)-(7).

(2)

(3)

Теорема. Розвязок задачі (1)-(3), (6)-(7) одержаний за методом Фурє подається у вигляді формули (11) з коефіцієнтами, що обчислюються за формулою (12)

Розвязання ІІ крайової задачі для рівняння струни.

Задача Штурма-Ліувілля

Теорема . При виконанні умов узгодження (1), (3), (5) формальний розвязок задачі подається у вигляді (6) з коєфіцієнтами, які обчислюються за формулою (7).

Метод Фурє розвязання крайової задачі для рівняння теплопровідності.

– крайові умови

- Задача Штурма-Ліувілля

Розвязуючи її будемо мати

– розвязок рівняння (1) задачі (3)-(4)

Будемо розглядати ряд

Теорема Формальний розвязок задачі (1)-(4) подається формулою (8)