“Застосування методу розмірностей до розв’язування задач з фізики”

ЗМІСТ

ВСТУП 3

РОЗДІЛ І. Розмірності фізичних величин 5

1.1.Означення розмірностей 5

1.2.Основні та похідні одиниці в системах СІ та СГС.

Величини нульової розмірності (безрозмірні величини) 7

РОЗДІЛ ІІ. Фізичний зміст розмірностей 11

РОЗДІЛ III. Розв’язування фізичних задач методом

аналізу розмірностей 13

3.1. Теореми про утворення розмірностей похідних одиниць 13

3.2. Розмірність фізичних констант. Пояснення наявності розмірності

у констант на прикладі гравітаційної сталої (G) 14

3.3 Порівняння еталонів 17

3.4. Встановлення зв’язку між одиницями за допомогою експерименту 18

3.5. Означення функціональних зв’язків шляхом порівняння

розмінностей 20

РОЗДІЛ IV. Метод розмірностей у вирішенні фізичних задач 21

4.1 Застосування методу розмірності для перевірки

фізичної коректності формул 21

4.2. П-теорема та метод подібності 23

4.3. Переведення одиниць вимірювання 27

4.4. Приклади розв’язування задач методом аналізу розмірностей 30

Висновки 39

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 40

Вступ

Серед задач, що вирішуються при розгляді різноманітних проблем фізичних досліджень, велике значення мають задачі знаходження аналітичних залежностей між фізичними величинами, якщо відомі фактори впливу на значення тієї чи іншої фізичної величини або отримані експериментальні залежності. Інтерполяційні методи у цьому випадку можуть дати тільки формальне співвідношення з коефіцієнтами невідомого фізичного змісту, та й застосування інтерполяційних методів до функції багатьох змінних ускладнене. У цьому випадку часто можна скористатися досить ефективним математичним методом розв’язування фізичних задач, на який мало звертається увага у програмі вищих навчальних закладів – це метод аналізу розмінностей.

При розгляді різноманітних явищ з будь-якого розділу фізики обов’язково вводиться ряд величин, наприклад, енергія, швидкість, робота і т. д., які характеризують розглядувані нами явища і можуть бути визначені за допомогою чисел.

Будь-яку задачу (про рух чи рівновагу системи) можна сформулювати як задачу про знаходження деяких функцій і числових значень для величин, що характеризують дане явище. При розв’язуванні таких задач, фізичні закони і різні математичні співвідношення представляють у вигляді функціональних рівнянь. І вже тоді функціональні зв’язки між величинами, які нас цікавлять, знаходять за допомогою різних математичних операцій. Однак, нерідко, розв’язуючи таку задачу, ми зустрічаємося з різними математичними труднощами. Можливе і таке, що досліджуване явище є надто складне і для нього ще не розроблено остаточної схеми математичної постановки задачі (з такими труднощами можна зіткнутися в ряді задач з області авіамеханіки, при вивченні дефектів і деформацій у будові різноманітних конструкцій, при розгляді задач фізики конденсованих середовищ і в ряді інших випадків). В таких випадках головну роль відіграють експериментальні методи дослідження.

Вивчати будь-які явища природи починають із встановлення простих дослідних фактів, на основі яких можна сформулювати різні фізичні закони і записати їх у вигляді математичних співвідношень.

Для того, щоб правильно поставити експеримент, результати якого дозволяли б встановити загальні закономірності, застосовні і до тих випадків, для яких експеримент безпосередньо не проводився, потрібно зробити загальний якісний аналіз досліджуваного явища. Крім того, сама постановка експерименту, результати якого можуть бути представлені у вигляді сукупності чисел, якими характеризуються досліджувані сторони явища, може бути точною тільки в тому випадку, якщо вона була здійснена на основі попереднього теоретичного аналізу.

Досить важливим аспектом є, також, правильний вибір безрозмірних параметрів.

Такий попередній якісно теоретичний аналіз дає можливість зробити теорія розмінностей. Вона дозволяє також правильно вибрати безрозмірні коефіцієнти.

Іноді, на початковій стадії вивчення деяких складних явищ, теорія розмінностей є єдиним можливим теоретичним методом.

РОЗДІЛ I. Розмірності фізичних величин

Якщо, не змінюючи формули, з якої визначають похідну одиницю через основні, змінити основні одиниці, то відповідним чином зміниться і похідна одиниця.

Існування різних систем ставить завдання переведення одних одиниць в інші. Зміна основних одиниць приводить до зміни одиниць, похідних від них. Наприклад, замість метра, за одиницю шляху візьмемо кілометр, тоді отримаємо одиницю швидкості – кілометр за секунду (в 1000 разів більшу, ніж метр за секунду). Якщо взяти за одиницю часу годину, а за одиницю довжини – метр, отримаємо одиницю швидкості – метр за годину (це в 3600 разів менше, ніж метр за секунду). Тоді можна отримати одиницю швидкості, яка рівна (м/с) приблизно дорівнює 0.278 м/с, коли за одиницю довжини взяти кілометр, а за одиницю часу – годину.

Необхідно було знайти співвідношення, яке би давало змогу визначити, як зі зміною кожної з основних одиниць зміниться похідна від неї одиниця тої чи іншої фізичної величини. Вперше це питання порушив у 1822 р. французький фізик і математик Ж. Фуръє в своїй монографії “Аналитическая теория тепла“. В даній праці він ввів термін “розмірність”, згідно якого: якщо при зміні основної одиниці в n разів похідна одиниця зміниться в np разів, то дана похідна одиниця має розмірність p по відношенню до відповідної основної одиниці.

Означення розмірностей

Розмірність фізичної величини виражається в формі степеневого одночлена, складеного з добутку символів основних фізичних величин з різними показниками степеня, які відображають зв’язок даної фізичної величини з фізичними величинами, прийнятими в даній системі величин за основні, а також з коефіцієнтом пропорційності, рівним одиниці.

Поняття “розмірність” поширюється і на основні величини. Розмірність основної величини, стосовно себе самої, рівна одиниці і не залежить від інших величин, її формула співпадає із символом. Наприклад, розмірність довжини – L, розмірність маси – M і т. д.

А. Г. Чертов розмірність величини позначає знаком