dim.
В фізичній літературі широко поширена точка зору, згідно з якою, поняття розмірності відноситься не до фізичної величини, а до її одиниці. Див. Л. А.Сена. единицы физических величин и их размерности. М., 1998 г.
Слід відмітити, що в деяких навчальних посібниках по загальній фізиці для вузів розмірність позначають знаком [ ].
Щоб знайти розмірність похідної фізичної величини в деякій системі величин, потрібно в праву частину визначаючого рівняння цієї величини, замість позначення самих величин, підставити їхні розмірності. Наприклад, підставивши у рівняння для визначення швидкості рівномірного руху замість ds розмірність довжини L і замість dt розмірність часу Т, отримаємо:
[V]==LT-1.
Підставивши у рівняння, що визначає прискорення a= замість dt розмірність часу T і замість dV, знайдену вище розмірність швидкості LT-1, отримаємо
[a]=LT-2.
Знаючи розмірність прискорення за визначаючим рівнянням сили F=ma, отримаємо
[F]=M LT-2=LMT-2.
Знаючи розмірність сили, можна знайти розмірність роботи, потім розмірність потужності і т. д.
Розмірність будь-якої похідної механічної величини в системі величин LMT може бути виражена степеневим рядом:
[x]=LpMqTr. (1.1)
Загальний вигляд розмірності фізичної величини в системі, побудованій на сімох основних величинах (довжина, маса, час, сила струму, температура, сила світла, кількість речовини), можна виразити формулою
[x]=LpMqTrIlmJkNn, (1.2)
де p, q, r… – показники розмірності фізичної величини.
Над розмірностями можна виконувати дії множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня. Дії додавання та віднімання розмірностей виконувати не доцільно.
Розмірність величини одночасно є розмірністю її одиниці.
Показник розмірності фізичної величини – показник степеня, в якому знаходиться розмірність основної фізичної величини, що входить в розмірність похідної фізичної величини.
Показники розмірності фізичної величини можуть приймати різні значення: цілі чи дробові, додатні чи від’ємні. Деякі показники розмірності даної похідної величини можуть виявитися рівними нулю.
Розмірна фізична величина – фізична величина, в розмірність якої входить хоча б одна основна фізична величина в степені не рівному нулю.
Основні та похідні одиниці вимірювання фізичних величин в системах СІ та СГС. Величини нульової розмірності (безрозмірні величини)
Певна сукупність основних та похідних одиниць, які відносяться до деякої системи величин, що побудована у відповідності з прийнятими принципами, утворює систему одиниць.
В наш час на практиці широко використовують дві системи одиниць: Міжнародна система одиниць (СІ) та симетрична (гауссова) система одиниць (СГС).
В CI та СГС одиниці довжини, маси та часу є основними. Якщо похідна одиниця величини А змінюється пропорційно степеня р зміни одиниці довжини, пропорційно степеня q зміни одиниці маси і степеня r зміни одиниці часу, то одиниця величини А володіє розмірністю р відносно одиниці довжини, розмірністю q відносно одиниці маси і розмірністю r відносно одиниці часу. Тобто,
[A]=LpMqTr. (1.3)
Квадратні дужки означають, що мова йде про розмірність величини А, відносно одиниць довжини, маси і часу. L, M і T являють собою узагальнені одиниці цих величин. За одиницю довжини можна брати метр, сантиметр, милю; маси – кілограм, грам, тонну; часу – секунду, годину, добу.
Якщо в двох системах розмірності будь-якої величини співпадають, але розміри основних одиниць різні, то відношення похідних одиниць визначається безпосередньо розмірністю, в яку треба замість L, M і T підставити відношення відповідних основних одиниць. Наприклад, якщо кожну з основних одиниць збільшити в 10 разів, то похідна одиниця збільшиться в 10p+q+r раз.
Коли похідна одиниця не залежить від розмірів будь-якої з основних одиниць, то говорять, що дана похідна одиниця володіє нульовою розмірністю відносно відповідної основної одиниці. Розмір похідної одиниці може не залежати від жодної з основних одиниць. Тобто, в її розмірність основні величини входять в степені, рівному нулю. Таку величину називають безрозмірною, або величиною нульової розмірності відносно всіх основних одиниць.
Безрозмірними величинами є, наприклад, відносна деформація, коєфіцієнт корисної дії, тобто будь-яка величина, рівна відношенню двох однорідних величин.
Оскільки спосіб побудови похідної одиниці включає в себе прирівнювання одиниці (чи будь-якому іншому довільному сталому числу, що не залежить від розмірів основних одиниць) коєфіцієнта пропорційності у визначаючому рівнянні, то це означає, що цей коєфіцієнт умовно вважають безрозмірним.
Пояснимо це прикладами.
1. Розмірність площі кадрата можна записати в такому вигляді
[Sкв]=[l]2=L2M0T0, (1.4)
або
[Sкв]=L2. (1.5)
2. Розмірність площі круга:
[Sкр]=[][l2]=L2 (1.6)
оскільки коефіцієнт є сталим коефіцієнтом, який не залежить від розмірів основних одиниць, він безрозмірний. Розмірність площі будь-якої геометричної фігури, незалежно від її форми
[S]=L2. (1.7)
3. Розмірність швидкості можна визначити з формули для швидкості рівномірного руху:
[V]=LT-1. (1.8)
4. Розмірність прискорення визначається з формули для прискорення рівноприскореного руху:
[a]=LT-2. (1.9)
Скористаємось цією формулою, щоб визначити як зміниться одиниця прискорення, якщо від вимірювання довжини в метрах і часу в секундах перейти до вимірювання довжини в кілометрах і часу в хвилинах. При такому переході одиниця довжини збільшиться в 1000 разів, а одиниця часу – в 60 разів. Згідно формули (1.9) одиниця прискорення зміниться в = разів, тобто нова одиниця прискорення буде рівна 0.278 старої.
5. Розмірність кінетичної енергії
Wk= (1.10)
буде рівною (в СІ та СГС)
[Wk]=L2MT-2. (1.10 а)
З останньої формули випливає, що коли перейти при вимірюванні довжини від сантиметрів до метрів, а при вимірюванні маси – від грамів до кілограмів і за одиницю часу взяти секунду. Тоді одиниця кінетичної енергії збільшиться в
(100)2 1000=107 разів.
6. Другий закон Ньютона, записаний у вигляді
Ft=mV2–mV1, (1.11)
де добуток Ft називають імпульсом сили, а mV – імпульс (кількість руху) тіла, визначає розмірність сили:
[F]=LMT-2. (1.11 а)
За розмірністю похідної одиниці часто визначають її назву та символічне позначення. Наприклад,