РОЗДІЛ II. Фізичний зміст розмірностей

Суперечність поглядів на фізичну сутність розмірностей

Існують протилежні точки зору на фізичну сутність розмірностей. Згідно однієї з них, розмірність виражає фізичний зв’язок між даною величиною та основними величинами системи. За іншою точкою – єдиний зміст розмірностей – вказівка на те, як зміниться одиниця даної величини при відомій зміні основних одиниць. Змінивши основні величини та визначаючі рівняння, можна докорінно змінити розмірність.

Суперечка між цими двома точками зору триває вже біля ста років. В книзі П. В. Бриджмена „Анализ размерностей” наведені цитати, які ілюструють думки різних вчених стосовно як однієї, так і іншої точки зору. Сам автор дотримується другої.

Досить чітко ця точка зору виражена М. Планком, котрий пише: „зрозуміло, що розмірність будь-якої фізичної величини не є властивістю, пов’язаною з її існуванням, зате представляє деяку умовність, виражену вибором системи вимірювань. Коли б на цей бік питання звертали достатньо уваги, то фізична література, особливо та, що стосується системи електромагнітних вимірювань, звільнилась би від багатьох непотрібних речей” (Планк М. Введение в теоритическую физику. В 3-х ч. – М.: ГТТИ, 1932. – Ч. І: Общая механика, § 28). І „... та обставина, що будь-яка фізична величина має в двох різних системах одиниць не тільки різні числові значення, але й різні розмірності, часто пояснювалась як деяке логічне протиріччя, яке вимагає пояснення і, між іншим, подає привід для постановки питання про „справжню” розмірність фізичних величин ... немає особливої необхідності доводити, що схоже питання не має глибокого змісту, між питаннями про „справжню” назву будь-якого предмета” ( там же. – 1933. – Ч. III: Электричество и магнетизм, § 7).

Зовсім протилежної точки зору дотримувався інший великий німецький фізик А. Зоммерфельд. Він писав: „Ми не дотримуємося точки зору Планка, згідно якої питання про справжню розмірність фізичної величини не має змісту”. Велика частина у вступі до Т. ІІІ “Курсу теоретичної фізики” (Зоммерфельд А. Электродинамика. – М.: ИЛ, 1958) присвячена питанню зносок з книг Зоммерфельда.

„... Ми знаходимо фундаментальну різницю між „силовими” величинами (Intensitдtsgrцвen) та „кількісними” величинами (Оuantitдtsgrцвen) в самих рівняннях Максвела, які взяті за основу ... Розгляд, в якому звертається увага на розмірність фізичних величин, стає плідним, якщо ввести четверту електричну одиницю, яка не залежить від механічних одиниць. Оскільки ми розрізняємо розмірності силових та кількісних величин, діелектрична і магнітна проникності повинні мати розмірності. Внаслідок цього їх не можна прирівнювати одиниці і для вакууму”.

З наведених цитат видно, що А. Зоммерфельд пов’язує вибір основних величин та їх розмірності з самою сутністю фізичних величин.

РОЗДІЛ Ш. Розв’язування фізичних задач методом аналізу розмірностей

3.1. Теореми про утворення розмірностей похідних одиниць

При утворенні розмірностей похідних одиниць користуються такими теоремами.

1.Якщо числове значення величини С рівне добутку числових значень величин А і В, то розмірність С рівна добутку розмірностей А і В:

[C]=[A][B], (3.1)

тобто, якщо

[A]=, [B]=,

то

[C]=. (3.2)

2.Якщо числове значення величини С рівне відношенню числових значень величин А і В, то розмірність С рівна відношенню розмірностей А і В:

(3.3)

або

[C]=. (3.4)

3. Якщо числове значення величини С рівне степеню n числового значення величини А, то розмірність С рівна степеню n розмірності А:

[C]=[An ]=[A]n. (3.5)

При

[A]=LpMqTr,

маємо

[C]=. (3.6)

Доведемо теорему 1.

Якщо числове значення величини С рівне добутку числових значень величин А і В, то це означає, що при вимірюванні цих величин одиницями с1, а1 і b1 матимемо

C1 =A1B1, (3. 7)

де

C1=, A1=, B1=. (3. 8)

Відповідно, при вимірюванні тих самих величин одиницями c2, a2 і b2, отримаємо

С2=А2В2, (3.9)

де

C2=, A2=, B2=; (3.10)

. (3.11)

Якщо

, (3.12)

, (3. 13)

то

, (3.14)

що й потрібно було довести. Аналогічно доводяться інші теореми.

3.2. Розмірність фізичних констант. Пояснення наявності розмірностей у констант на прикладі гравітаційної сталої (G)

Розглянемо приклад з розмірністю сили.

Сила зв’язана з масою, згідно другого закону Ньютона:

Ft=mV2–mV1

і, згідно закону всесвітнього тяжіння:

.

К вважаємо рівним одиниці.

Відповідно, розмірності:

;

.

Ми бачимо, що розмірності сили, визначені на основі різних фізичних законів, не співпадають. Причина відмінності в тому, що в обох випадках ми ставили коєфіцієнт пропорційності рівним одиниці.

Нехай ми маємо деяку величину А. Одиниці вимірювання її а1 і а2 в двох різних системах мають розмірності

[A]1=;

[A]2=;

A1=KA2.

(Числове значення К залежить від вибору основних одиниць).

[K]==.

a1=.

Одиницю сили, визначену на основі другого закону Ньютона, називають інерціальною (fi), а на основі закону всесвітнього тяжіння – гравітаційною, або астрономічною (fg).

Fi=Gfg, звідси

G=.

[f]i=LMT-2; [f]g=L-2M2.

. (3.15)

Гравітаційна стала має розмірність, бо її числове значення залежить від вибору основних одиниць. Одиниці гравітаційної сталої змінюються пропорційно кубу одиниці довжини, обернено пропорційно одиниці маси і квадрату одиниці часу. Оскільки числове значення фізичної величини і її одиниці знаходяться в оберненому відношенні, то числове значення гравітаційної сталої буде обернено пропорційне кубу одиниці довжини і прямо пропорційне одиниці маси та квадрату одиниці часу. Так, при основних одиницях метрі, кілограмові, грамові та секунді гравітаційна стала рівна 6.67 10-11 , а при – сантиметрові, грамові та секунді вона прийме значення 6.67 10-8.

Використавши для означення одиниці сили закон всесвітнього тяжіння, гравітаційна стала буде безрозмірна величина, В цьому випадку розмірність сили

[F]=L-2M2; (3.16)

інерціальна стала набуде розмірності:

[Ki]=L-3MT2. (3.17)

Зміна розмірності сили