[A]=L2 MT-2,

а

[A]=[F][l]=L-2M2L=L-1M2. (3.18)

Дану розмірність можна отримати, коли послідовно в новій системі вивести зв’язок між роботою і величиною, утвореною півдобутком маси на квадрат швидкості.

A=Ki . (3.19)

Підставивши в праву частину розмірності маси, швидкості та інерційної сталої (3.17), отримаємо

[A]=L-3MT2M(LT-1)2=L-1M2.

Таким чином, при переході від однієї системи до іншої, потрібно для означення розмірностей замінити безрозмірний коефіцієнт розмірним або навпаки.

Скоротивши кількість основних одиниць (наприклад, об’єднавши другий закон Ньютона та закон всесвітнього тяжіння у закон, аналогічний третьому закону Кеплера), гравітаційна та інерціальна сталі стають безрозмірними, а в формулах зберігаються тільки розмірності довжини і часу

a=щ2r=()r.

Переведення розмірностей від систем з трьома до систем з двома основними одиницями в даному випадку можливе, якщо у відповідних формулах замінити розмірність маси її виразом, отриманим з формули, що об’єднує другий закон Ньютона із законом всесвітнього тяжіння. Запишемо цю формулу у вигляді

, (3.20)

вважаючи К безрозмірним, знайдемо розмірність для одиниці маси

[m]=L3T-2. (3.21)

Підставивши даний вираз в будь-яку з розмірностей сили (виведену з другого закону Ньютона чи із закону всесвітнього тяжіння), отримаємо однакові розмірності.

[F]=LMT-2=L4T-4, (3.22)

[F]=L-2M2=L4T-1. (3.23)

3.3. Порівняння еталонів

Переведення одиниць одної системи в одиниці іншої найпростіше здійснити, коли обидві системи побудовані на одних визначаючих рівняннях і на одних основних величинах, так що основні одиниці відрізняються лише розміром. Із сказаного випливає, що розмірність похідної одиниці в обидвох системах одна й та сама. Тому достатньо в розмірність підставити відношення розмірів основних одиниць, які або задані за означенням, або дослідним шляхом (наприклад, порівнювання еталонів відповідних одиниць).

Встановимо співвідношення двох одиниць сили, визначених на основі другого закону Ньютона, при наступних основних одиницях: “сантиметр, грам, секунда” та “фут, фунт, хвилина”. Співвідношення основних одиниць таке:

1 фут = 30.48 см (порівнювання еталонів),

1 фунт = 409.5 г (порівнювання еталонів),

1 хв = 60 с (означення).

На основі розмірності сили

[F]=LMT-2

визначаємо співвідношення одиниць сили:

3.4. Встановлення зв’язку між одиницями за допомогою експерименту

Величина, яка в одній системі прийнята за основну, в іншій системі може бути похідною, і навпаки. Тому необхідно встановити зв’язок між відповідними одиницями. Цей зв’язок можна встановити з допомогою експерименту. В механіці такий експеримент може грунтуватися на другому законі Ньютона. Зручно взяти при цьому системи LMT (відповідає СІ та СГС) і LFT (відповідає МКГСС, одиниця сили якої – сила (кг с)).

Згідно з другим законом Ньютона , якщо коефіцієнт у формулі

[A]=LpMqTr

поставити рівним одиниці, одиниця сили дає можливість визначити одиницю прискорення тіла, маса якого рівна одиниці. Припускається, що сила, маса і прискорення виражені в одній системі одиниць. Нехай сила прикладена до тіла (рівна одиниці) в одній системі, маса якого рівна одиниці (в іншій системі). Виміряємо прискорення, якого набуває тіло і знайдемо співвідношення між одиницями сили або між одиницями маси цих систем. Оскільки всі тіла падають в даній точці Землі з однаковим прискоренням то сила притягання до Землі в кожній точці рівна добутку маси тіла на прискорення вільного падіння, які є різним в різних точках земної кулі, зростаючи від значення 9.7805 м/с на екваторі до 9.8322 м/с на полюсі. Прискорення в місці зберігання еталонної гирі кілограма (Севр) рівне 9.80665 м/с. Це значення стандартизоване як стала величина , яка не підлягає ніяким змінам не залежно від уточнення вимірювань. Воно отримало назву нормального прискорення вільного падіння. Ми користуємося наближеним значенням 9.81 м/с. Оскільки сила, що визначає прискорення тіла, маса якого рівна одному кілограму, прискорення 1 м/с, рівна 1 Н, то “нормальна” вага кілограма рівна 9.81 Н. Сила, з якою кілограм притягується до Землі в місці зберігання еталона кілограма, є одиницею сили в LFT і називається кілограм-силою (кг с).

1 кг с = 9.81 Н.

В такому ж відношенні знаходяться і одиниці маси:

1 од. маси LFT = 9.81 кг.

Обернені співвідношення

1 Н = 0.102 кг с,

1 кг = 0.102 од. маси LFT .

В лівій частині стоять одиниці однієї системи, а в правій – їх значення, виражені в одиницях другої системи.

З допомогою цих рівностей знайдемо співвідношення між одиницями всіх величин обох систем. При цьому можна користуватися як розмірностями відповідних величин, так і безпосередньо рівняннями, якими ці величини зв’язані з основними чи з похідними, для яких одиниці визначені раніше. Кінематичні величини, в розмірності яких не входять розмірності маси і сили, вимірюються однаковими одиницями в обох системах. В розмірності статичних і динамічних величин розмірності маси в LMT і сили LFT в ходять в першому степені, тому співвідношення між одиницями цих величин такі ж як між одиницями маси і сили. Наприклад, одиниці роботи пов’язані між собою співвідношенням

1 кг с м = 9.81 Дж,

одиниці тиску –

1 = 9.81 Па

(Па – паскаль – одиниця тиску СІ , рівна 1 ).

3.5. Означення функціональних зв’язків шляхом порівняння розмірностей

В багатьох випадках, якщо відомо, які фізичні величини використовуються в досліджуваному процесі, можна, співставивши розмірності, встановити характер залежності, яка зв’язує дані величини. Такий метод отримав назву аналіз розмірностей. Він широко використовується в багатьох областях фізики і суміжних з нею науках – теплотехніці, гідромеханіці та ін.

Найбільш плідний він в тих випадках, коли