РОЗДІЛ IV. МЕТОД РОЗМІРНОСТЕЙ У ВИРІШЕННІ ФІЗИЧНИХ ЗАДАЧ.

4.1. Застосування методу розмірностей для перевірки коректності фізичних формул

Розмірності можуть служити для перевірки рівнянь, які виражають фізичні закономірності. Якщо розмірність одної з декількох величин по відношенню хоча б до одної з основних одиниць не співпадає з розмірностями інших величин, які входять у рівняння, то можна стверджувати, що рівняння не вірне. Нехай при будь-якому виборі розмірів основних одиниць ліва і права частини рівняння виявляються чисельно рівними. При цьому розмірності лівої і правої частин рівняння відносно однієї з основних одиниць не співпадають. Змінимо в кілька разів розміри цієї одиниці, тоді ліва і права частини рівняння зміняться в різне число раз і попередня рівність порушиться.

Приклад.

На два тіла однакової маси протягом деякого часу діють різні сили. Початкові швидкості тіл рівні нулю. В залежності від діючих на тіла сил, вони пройдуть не однакову відстань. Ці сили і пройдена відстань взаємопов’язані (оскільки маси тіл однакові і однаковий час руху). Одиницю довжини, вибрану довільно, візьмемо за основну, а одиницю сили, яка залежить від вибору одиниці довжини, похідною від неї. Запишемо взаємозв’язок між F1,l1 та F2, l2.

F1=f(l1), F2 =f(l2), (4.1)

F1 і F2 - числові значення, діючих на тіла, сил;

l1 і l2 – шляхи, пройдені тілами, внаслідок дії на них цих сил.

З умови абсолютного значення відносних кількостей випливає, що співвідношення

(4.2)

не залежить від вибору одиниць. Тому одиниці довжини можна як завгодно довго збільшувати або зменшувати. Зменшимо її в х разів. При цьому довжини l1 і l2 збільшаться в х разів. Таким чином

. (4.3)

Запишемо останню рівність у вигляді

=. (4.4)

Продиференціюємо обидві частини по х:

. (4.5)

Число х вибране довільно. Запишемо співвідношення (4.5), при х = 1.

. (4. 6)

Дане співвідношення виконується при будь-яких l. Тому,

, (4.7)

де а – деяка стала.

Розділивши змінні та проінтегрувавши, отримаємо

f(l)=K1la. (4.8)

При умові, що під дією деяких двох сил тіла різної маси за однаковий час пройдуть однакову відстань:

f(m)=K2mb. (4.9)

Для двох тіл однакової маси, що пройшли однакову відстань за різні проміжки часу:

f(t)=K3tc . (4. 10)

В загальному вигляді можна записати:

f(l, m, t)=Klambtc, (4. 11)

K не залежить від вибору одиниць.

З формули (4.11) випливає, що зміна одиниць величин, що входять в аргументи відповідних функцій, не повинна змінювати одиниці залежних величин. Для цього необхідно, щоб одиниці величин, що входять в аргументи неалгебраїчних (тригонометричних, показникових) функцій не змінювались при будь-якій зміні одиниць, прийнятих за основні.

4.2. П-теорема та метод подібності

Застосування аналізу розмірностей потребує вдалого вибору системи одиниць, врахування розмірних сталих, які можуть входити у вирази для законів, керуючих даним процесом, чи означення фізичних величин. Інколи потрібно інтуїтивно приймати деякі припущення.

Чим менше основних величин і чим більше параметрів бере участь в процесі, тим більше неповна система рівнянь, яку можна скласти для знаходження показників степеня при символічних показниках величин, які входять у шукану залежність. Можливі і такі випадки, що рівняння розмірностей приводить до несумісної системи рівнянь для показників степенів розмірностей. Це свідчить про те, що будь-яка з величин, істотних для розв’язання задачі виявилась неврахованою нами. Серед таких величин може бути й розмірна стала.

Суттєву допомогу при аналізі розмірностей надає П-теорема. Сформулюємо її :

Нехай n фізичних величин зв’язаних між собою функціональною залежністю

f(a1,a2,…,an)=0, (4.12)

де а1, а2, ..., аn – числові значення відповідних величин при довільно вибраному наборі основних фізичних величин. До цих величин, поряд з масою, швидкістю, силою струму, можуть входити розмірні величини (наприклад, гравітаційна стала, прискорення вільного падіння, швидкість світла і т.д.)

Рівняння (4.12) має бути справедливим при будь-якому розмірі основних одиниць. Перехід до системи з іншими визначаючими рівняннями може привести або до появи нових розмірних сталих, або до зникнення деяких з тих, що входять у рівняння (4.12).

Нехай, при нашому виборі величин, з усієї кількості n, k мають незалежні розмірності. Наприклад, якщо в рівняння (4.12) входить довжина, час, швидкість і густина речовини, то незалежними в СІ та СГС будуть розмірності довжини, часу та густини речовини (L, T і L-3M) а залежною – розмірність швидкості (LT-1).

Припустимо в рівнянні (4.12) величини від а1 до аk мають незалежні розмірності, а величини від аk+1 до аn - залежні. Незалежність розмірностей перших k величин дозволяє вважати їх основними і надати їм самостійних розмірностей А1, А2, ..., Аk, тобто

[a1]=A1, [a2]=A2,…,[ak]=Ak. (4.13)

Відповідно розмірності аk+1, аk+2, …, аn матимуть вигляд

[ak+1]= . (4.14)

Одиниці кожної з величин а1, а2, ..., аk можна змінювати в довільне число разів. При цьому зміняться числові значення величин від аk+1 до аn у відповідності з їх розмірностями (4.14). Замінимо одиниці перших k величин таким чином, щоб числові значення кожної з них були рівними одиниці. Для цього потрібно помножити кожне з них, відповідно, на , , …, . Значення інших n-k величин, відповідно розмірностям, стануть рівними

(4.15)

і рівняння (4.2.1) набуде вигляду

f(1, …, 1, Пk+1, …,