Оскільки початкові значення величин а1, а2, ..., аk були довільними, вираз (4.16) буде справедливим при будь-якому виборі перших k величин. Величини Пk+1, …, Пn безрозмірні. Справді, наприклад, розмірність величини ak+1, яка є чисельником Пk+1,…,Пn безрозмірні. Справді, наприклад, розмірність величини [ak+1], яка є чисельником Пk+1, [ak+1]=, співпадає з добутком розмірностей величин, що входять у знаменник.

Отриманий результат і є П-теоремою, яку можна сформулювати так:

якщо n величин зв’язані функціональною залежністю і k з них мають незалажні розмірності, то з цих величин можна утворити n-k безрозмірних комбінацій. Чим менша ця різниця, тим більше визначеним буде розв’язок задачі. При n-k=1 задача стає найбільш визначеною та однозначною. Виділяючи із загальної кількості величин ту, залежність якої від інших ми хочемо визначити, можна виразити шукану залежність у вигляді явної функції.

Приклад 1.

Потрібно знайти об’ємні витрати рідини QV (об’єм, який витікає щосекунди) по трубі, в якій створений протяжний градієнт тиску , якщо діаметр труби D, а в’язкість рідини м. Розмірності цих величин

(4.17)

[м]=L-1MT-1, [D]=L.

Для трьох з чотирьох величин можна встановити незалежні розмірності (це може бути розмірність довжини і будь-яких двох з тих, що залишилися). Можна скласти безрозмірну комбінацію і на основі звичайних основних величин – довжини, маси, часу. Для розв’язання задачі приймемо в якості незалежних розмірності довжини, часу і в’язкості ([м]=N). Тоді розмірність градієнта тиску буде =NL-1T-1. З чотирьох розмірностей L3T-1, NL-1T-1, N i L, при наявності трьох незалежних, можна скласти єдину безрозмірну комбінацію

відповідно,

ц, (4.18)

звідси

Qv=. (4.19)

Це формула Пауйзеля, в якій С=:

Qv=. (4.20)

П-теорема в багатьох випадках дозволяє проводити аналіз в різних формах, залежно від того, які параметри нас цікавлять.

За допомогою П-теореми зручно вводити так звані безрозмірні критерії подібності. Такими критеріями можуть бути будь-які з безрозмірних комбінацій величин, які визначають досліджуване явище.

Якщо в такій комбінації змінити значення величин, які її утворюють, так, щоб сама комбінація не змінилася, її числове значення залишиться незмінним навіть при зміні розмірів основних одиниць. Відповідно, при збереженні решти величин, залишиться незмінною і шукана величина.

Введення критеріїв подібності є особливо зручним в тих випадках, коли відомостей про повний опис явища недостатньо або строгий розв’язок задачі складає великі математичні труднощі.

Перший критерій, за допомогою якого були отримані важливі теоретичні результати, які відносяться до потоку реальної (в’язкої) рідини, введений О. Рейнольдсом і носить його ім’я. Критерій (число Рейнольдса, Re) рівний

Re=, (4.21)

де V – швидкість потоку рідини, D – діаметр труби, с – густина рідини і м – її в’язкість (розмірність якої L-1MT-1, Re є величина безрозмірна). При даному значенні Re характер потоку різних рідин по різних трубах з різними швидкостями є однаковим: однаково розподілені тиск, швидкість і т. д. При Re=2200 (критичне число Рейнольдса) впорядкована струменева, або ламінарна, течія рідини стає невпорядкованою – турбулентною.

Введення критеріїв подібності є плідним при розв’язуванні задач аеро- і гідромеханіки, теплопередачі та ін. Особливо важливим є те, що за допомогою методу подібності можна досліджувати різні явища на моделях. Наприклад, критерій Рейнольдса (який можна застосовувати також до обтікання рідиною занурених в неї тіл) дозволяє вивчати опір на тіла в потоці рідини, при заміні тіл, геометрично схожими, моделями менших розмірів і відповідно, збільшити швидкість потоку.

Критерії подібності в такому вигляді, в якому вони сформульовані, є безрозмірними тільки при певному виборі визначаючих рівнянь. Якщо змінити ці рівняння, то зміняться розмірності одиниць, що входять у вирази даного критерія, і він набуває певної розмірності. Наприклад, можна показати, що при заміні інерціальної одиниці сили на гравітаційну критерій Рейнольдса набуде розмірності

[Re]=L3M-1T-2. (4.21)

Критерій знову може стати безрозмірним, якщо в нього ввести інерціальну сталу, розмірність якої рівна.

Складання безрозмірних комбінацій корисне в тому випадку, коли задачу можна розв’язати звичайним шляхом без особливих труднощів. Сформулювавши розв’язок так, щоб величина, яку потрібно визначити, була представлена як функція від ряду величин, з яких хоча б одна частина може бути складена в безрозмірній комбінації, зручний для аналізу та вдосконалень.

Роблячи висновки, можна сказати, що хоч поняття „розмірність одиниці фізичної величини” саме по собі нічого не говорить про сутність даної величини або про її зв’язок з іншими величинами, застосування розмірностей виявляється в багатьох питаннях дуже корисним.

4.3. Переведення одиниць вимірювання

Розглянемо переведення одиниць в тому випадку, коли в різних системах для означення похідної одиниці використовуються різні визначаючі рівняння (основні величини в обох системах одні й ті самі).

Нехай ми маємо деяку величину А, одиниці якої а1 і а2 різні в двох різних системах

[A1]=,

(4.22)

[A2]=,

причому числа А1 і А2, які виражають величину А в цих одиницях знаходяться в такому співвідношенні:

A1=KA2, (4.23)

K – коефіцієнт пропорційності, який залежить від вибору основних одиниць.

[K]==. (4.23 a)

Оскільки числове значення в різних одиницях і одиниці цих величин знаходяться в оберненому відношенні, запишемо

а1=a2. (4.24)

Відношення розмірностей величини А в першій та дригій системах дає розмірність коефіцієнта К. За відомим числовим значенням цього коефіцієнта в будь-якій системі одиниць можна визначити його числове значення в якійсь іншій системі, а також співвідношення між певними одиницями даної величини А.

Пояснимо це на прикладі. Закон всесвітнього тяжіння

. (4.25)

Якщо основні одиниці в обох системах однакові, то вираз являє собою силу взаємного тяжіння, виміряну в гравітаційних одиницях. Позначивши число, яке вимірює силу в інерціальній системі через