Fi=GFg.. (4.26)

Зі зміною основних одиниць, будуть змінюватися сила Fi та Fg, але не в однаковій степені. Числове значення коефіцієнта G зміниться. Визначимо характер цієї зміни

[Fi]=LMT-2, [Fg]=L-2M2, (4.27)

звідси

. (4.28)

Оскільки інерціальна та гравітаційна одиниці сили (позначимо їх цi та цg) знаходяться у співвідношенні

цi = цg, (4.29)

то при вимірюванні маси в кілограмах і відстані в метрах

цi= цg=1.5 1010цg, (4.30)

а при вимірюванні маси в грамах і відстані – в сантиметрах відповідно

цi= цg=1.5 107цg . (4.31)

Ввівши позначення одиниць сили, можна замість (4.30) і (4.31) записати

1Н = 1.5 1010 = 1.5 1012,

1дин = 1.5 107.

Можна визначити співвідношення одиниць у випадку, коли розмірності основних величин різні в різних системах. Найпростіше це зробити, коли попередньо перевести одну з одиниць в систему з тими ж основними величинами, але з розмірами основних одиниць такими як в другій системі.

Такі переведення можливі, коли в системі, в якій присутній розмірний коефіцієнт пропорційності, числове значення якого, або відоме безпосередньо, або може бути отримане переведенням з другої системи з тими самими визначаючими рівняннями.

4.4. Приклади розв’язування задач методом аналізу розмірностей

Задача 1

На пружині підвішений вантаж, масою m, вага якого зрівноважується силою натягу пружини. Для видовження пружини відносно положення рівноваги на довжину l потрібно прикласти силу F (F = кl). Така ж по модулю, але протилежно напрямлена сила намагається повернути вантаж в початкове положення. Забравши розтягуючу силу, вантаж через деякий час t повернеться в початкове положення. Визначити час t в залежності від l, m і k (k – жорсткість пружини).

Розв’язання:

Нехай час – деяка функція від l, m і k. Запишемо її в такому вигляді

;

,

де С – невідомий безрозмірний коефіцієнт пропорційності, а p, q та r – невідомі показники степеня .

Прирівнявши розмірності лівої і правої частини рівняння, одержимо

.

Дане рівняння буде інваріантне відносно розмірів основних одиниць, якщо показники степеня при відповідних розмірностях основних одиниць в лівій і правій частинах будуть рівними. Виходячи з цього,

; ; ,

звідки

r=, q=.

Відповідно

.

ЗАДАЧА 2

Встановити залежність періоду коливань математичного маятника від величин, що його характеризують.

Розв’язання:

Маятник характеризується двома величинами: масою m, довжиною l. Коливання маятника відбуваються під дією сили тяжіння P. Відповідно період коливань буде залежати від цих трьох величин. Його можна записати у вигляді функції

.

Припустимо, що величини l, m і P мають показники степеня p, q, r. Сама ж функція при цьому набуде вигляду

,

де С – деяка стала.

Запишемо умову рівності розмірностей лівої та правої частин цього рівняння.

.

Оскільки, [l]=L, [m]=M, [P]=LMT-2, ф=T, то

або

Порівнюючи ліву і праву частини цього рівняння, отримаємо систему рівнянь:

Розв’язавши цю систему рівнянь, знайдемо

Підставивши відповідні значення показників розмірностей в перше рівняння, отримаємо:

Оскільки, сила тяжіння P=mg, то

Стала С залежить від початкового кута відхилення маятника від положення рівноваги і не може бути визначена методом, яким ми користувалися для отримання формули За допомогою методу розмірностей залежність між фізичними величинами визначається тільки з точністю до безрозмірної сталої. Тому в даному випадку метод аналізу розмірностей не є універсальним.

Як нам уже відомо з курсу фізики, при малих відхиленнях математичного маятника стала с=2р, при цьому формула набуде вигляду

Задача 3

В циліндричній посудині площею перерізу S1 до рівня, розміщеного на висоті h від дна, налита ідеальна рідина з густиною с. Дно посудини має отвір площею перерізу S2. Визначити час витікання рідини t.

Розв’язання:

Витікання відбувається під дією сили тяжіння.

В шуканий зв’язок може входити функція, яка включає в аргумент величини h, S1 і S2. Шуканий час представимо у вигляді степеневого одночлена

;

,

де С – безрозмірний і неозначений коефіцієнт пропорційності, а p, q, r, l, m – невідомі показники степеня. Складемо рівняння розмірностей

,

прирівнявши показники степеня лівої і правої частин, отримуємо систему

рівнянь

Два показники степеня визначаються безпосередньо:

.

Ми бачимо, що час витікання не залежить від густини рідини і обернено пропорційний кореню квадратному з прискорення вільного падіння.

Для визначення інших показників степеня припустимо, що швидкість рідини в отворі не залежить від його перерізу. В цьому випадку час повинен бути обернено пропорційний S2. Разом з цим час витікання при однаковому початковому рівні рідини h повинен бути пропорційний загальній масі рідини і S1. Це дає для показників l i m значення 1 і -1. При такому припущенні визначається показник і для часу витікання маємо

Розрахунки показують, що коефіцієнт С рівний

ЗАДАЧА 4

Однорідний циліндр котиться по горизонтальній площині під дією сили F. Досділити залежність прискорення центра його основи від величини сили F. Тертям знехтувати.

Розв’язання:

Прискорення a може залежати від трьох величин: сили F, маси циліндра m та його радіуса R:

Користуючись методом розмінностей підберемо функцію

,

що задовольняє умову

Враховуючи, що

отримаємо

Тобто,

Оскільки, знайдена степенева функція єдина, то

де С – деяка стала.

Ми бачимо, що прискорення цього циліндра не залежить від його радіуса.

ЗАДАЧА 5

Два однакові однорідні куби розміщені так, як показано на рисунку (4.1). Нехай маса кожного куба рівна m, ребро рівне a, а сила їх гравітаційної взаємодії рівна F. Дослідити функцію

Розв’язання:

Сила F може залежати від маси m, прискорення a і від гравітаційної сталої G:

Користуючись методом розмінностей, Рис. 4.1 запишемо

Оскільки, знайдена степенева комбінація єдина, то

де С – деякий безрозмірний коефіцієнт.

ЗАДАЧА 6

Відомо, що швидкість звуку в газі залежить від тиску газу і його густини. Встановити вид цієї залежності, користуючись методом розмірностей.