У роботі [12] показано, що коли фільтр працює оптимальним чином, то за умови s < t vt не залежить від vs та ys (тобто не корелюється із ними). Оптимальна робота фільтра означає, що параметри P0, Ft, Bt, Ht, Q та R задані правильно. Основою оцінки характеристик фільтра слугує аналіз трьох співвідношень, та , які називають властивостями залишку.

Для перевірки умов, за яких зберігаються властивості залишку, можна користуватися методом статистичного аналізу [3], що ґрунтується на оцінці критеріїв Q та S.

Нехай та - скалярні вектори, і подамо відповідно вихідні сигнали, що спосте-рігаються, і розрахункові залишки у вигляді часової розгортки (значень у моменти часу 0,1,..., t). Позначимо вибіркове середнє через а вибіркове середнє і дисперсію - через та .

Потім розраховуються такі вибіркові коваріаційна функції:

За їх допомогою розраховуються такі статистичні характеристики:

Якщо умови, за яких зберігаються властивості залишку фільтра, дотримуються, то М характеризується t - розподілом Ст'юдента із t – 1 ступенями свободи (М ~ іt-1), а Q та S - ч2 - розподілом із т ступенями свободи ). Тут т = L – р, р- кількість параметрів у загальній моделі. Кількість членів L, що входять у рівняння (2.21) - (2.30), вибирається таким чином, щоб вона перевищувала пам'ять моделі. Найбільш слушно ви-бирати L таким чином, щоб FL складалася із зневажливо малих елементів.

2.2.3 Стійкість дивергенції фільтра

Алгоритм, у відповідності з яким працює фільтр Калмана, простий для сприйняття і застосування за умови точного визначення необхідних параметрів. Але оптимальність фільтра не означає, що він є стійкий. Стійкість треба доводити.

Один із аспектів, пов'язаних із проблемою стійкості фільтра, є його розбіжність. По суті питання розбіжності фільтра виникає у ситуації коли аналіз його характеристик про-водиться за припущення, що параметри Ft, Bt, Ht, P0, R та Q відомі точно. Насправді ж значення параметрів, що використовують при моделюванні, можуть містити деяку по-хибку, що обумовлюється спрощенням динаміки реальної системи або не досить точною оцінкою значень параметрів. Це призводить до того, що алгоритм, що є самонавчаючий, за яким працює фільтр Калмана, у разі коли він оперує зі значним обсягом вхідних даних, швидко запам'ятовує хибні стани системи, тобто стани, що не відповідають дійсності.

Ми розглядаємо цю проблему стосовно випадку, коли члени рівнянь, що відповід-ають перешкодам, є малі. У цьому разі елементи коваріаційної матриці похибок також стають малі. Отже, коефіцієнт підсилення є невеликий, і наступні спостереження незна-чно впливатимуть на оцінку. Це можна показати на такому прикладі. Нехай рівняння стану і вихідних сигналів мають вигляд

Нехай також wt у рівнянні стану дорівнює нулю. Коваріаційна матриця похибок прогно-зування складає

Якщо система, що моделюється, є стаціонарна (тобто власні значення матриці зміню-вання станів містяться Р у межах одиничного кола), то буде менше за . Коефіціє підсилення можна записати як

Це значення завжди менше за одиницю. Коваріаційна матриця похибок фільтра у момент часу t визначається як

Вважаючи заданою, зазначимо, що як випливає із рівняння (2.33), < , а у відповідності до рівняння (2.35) < . Зі збільшенням t I .

Але у разі коли модель динамічної системи не співпадає з рівняннями (2.31) і (2.32) із-за відмінностей або у структурі, або у значеннях параметрів, оцінки стану системи, що отримують за допомогою фільтра Калмана, відрізнятимуться від істинних значень.

Аналогічні проблеми виникають у ситуації, якщо прийняти у рівнянні (2.32) (тобто припустити, що похибки вимірювань відсутні). У цьому разі коефіцієнт підсилення i . Остання умова може призвести до проблем стійкості фільтра, оскільки, як відомо, [ ], > 0 для всіх повністю керованих і повністю спостережних дискретних динамічних систем, для яких .

При вирішенні реальних задач у момент, коли алгоритм починає розбігатися, залишки фільтра приймають безглузді значення. Внаслідок цього фільтр перестає бути оптималь-ним, оскільки більше не є істинна міра дисперсії похибок оцінки станів системи, а похибка поступово збільшується зі збільшенням t.

Наразі розроблена низка методів, які сприяють вирішенню цих проблем. Перший з цих методів передбачає аналіз структури моделі та системи спостережень за об'єктом, що розглядається. Всі теоретичні побудови стосовно стійкості фільтра, потребують, щоб система, що моделюється, була повністю керована та повністю спостережна. Вони зв'язані із характером завдання на моделі матриць F, Н, R, Q, особливо їх структури.

Перевірка керованості та спостережності системи необхідна для того, щоб забезпечити стійкість фільтра, оскільки такий аналіз дозволяє виявити, чи можна теоретично досягти стійкості фільтра за прийнятою системою вимірювань і структурі рівнянь, що описують динаміку об'єкта. Дивергенція фільтра може мати місце також у разі, коли оцінки па-раметрів фільтра, що входять у матриці F, Н, R, Q, отримано із похибками. Ці похибки призводять до зміщення оцінок, що може накопичуватися.

Інший метод аналізу стійкості фільтра передбачає модифікацію його рівнянь. Ця мо-дифікація передбачає більший вплив на оцінки, які отримують за допомогою фільтра пізніших, результатів спостережень порівняно із результатами спостережень, що отримані раніше. Запроваджується множина вагових коефіцієнтів, що приписуються спостережен-ням , яка задається як

де ф - "пам'ять" фільтра.

У табл. 2.2 подано такий фільтр із пам'яттю та ваговими коефіцієнтами, які зада-ються певною експоненціальною функцією. Якщо параметри рівнянь стану системи та вхідних сигналів відомі точно, фільтр, що наведено у таблиці,