Визначення структури моделі, тобто проблема створення математичної моделі фізи-чного процесу на основі наявних даних, у теорії систем називається проблемою реалізації. У гідрології у разі, коли формулюються концептуальні моделі, питання, що пов'язані із визначенням структури моделі, або розглядаються побіжно, або зовсім ігноруються. За-звичай такі моделі містять надлишкову кількість параметрів, що призводить до значних складнощів у ситуації коли виникає задача їхньої оцінки за наявних даних. Аналогічні проблеми виникають також у разі, коли достовірність моделі оцінюється за новою інфор-мацією - інформацією, яка у процесі оцінювання параметрів не використовувалася.

Із літератури по теорії систем відомо, що для того, щоб модель була ідентифіковною, вектор станів системи має задовольняти таким п'яти умовам: 1) система має бути спосте-режною і керованою; 2) коваріація перешкод моделі має бути такою, що ідентифікується; 3) матриці параметрів мають бути подані у канонічній формі; 4) система має відповідним чином реагувати на вхідні впливи; 5) система має бути стійкою.

Канонічне подання матриць у моделях вектора станів природної системи має велике практичне значення при вирішенні задач ідентифікації цієї системи з двох причин. Перша з них полягає у тому, що канонічна форма дозволяє подати матриці [F, Н, G] таким чином, що при цьому використовується мінімальна кількість параметрів. Друга причина пов'я-зана із тим, що канонічне подання має ті самі структурні властивості (спостержністю, керованістю і стійкістю) і характеризується тими самими статистичними залежностями між вхідними та вихідними сигналами, що й вхідне подання. Крім того, ці властивості зберігаються у процесі лінійних перетворень матриць.

Гідролог може подати математичну структуру прогнозної моделі, ґрунтуючись на власних знаннях відносно фізичних процесів, що розглядаються. Один із можливих шля-хів для цього полягає у такому. Спочатку вираховується матриця теоретичного імпуль-сного відгуку системи, а потім вона приводиться до канонічного вигляду. Найважливіший результат, який отримують внаслідок перетворення матриць до канонічного вигляду, по-лягає у тому, що у цьому разі з'являється можливість оцінки того, чи є параметри, що входять у матриці у їх вхідному поданні, ідентифіковані. Якщо параметри, що входять у матриці в їх вхідному поданні, не точно відповідають параметрам у канонічних матрицях, то не всі вони є ідентифіковані (або не піддаються оцінці).

Четверта із вказаних вище умов, яку необхідно дотримуватися при ідентифікації си-стеми, полягає у тому, що вхідні сигнали мають відповідним чином збуджувати систему, тобто впливати на неї так, щоб можна було провести ідентифікацію і оцінювання параме-трів внутрішньої структури системи.

Математично ця задача вирішується шляхом підстановки рівнянь, які описують вхідні сигнали чи дані фактичних спостережень, у рівняння стану, перетвореного за Лапласом. Якщо у лівій частині цього рівняння міститься відношення зображень вихідного сигна-лу до вхідного, права частина може бути подана у вигляді відношення двох поліномів. Корені знаменника є полюси системи, що характеризують визначені форми коливань або частоти, які треба відповідним чином збурювати у процесі оцінювання параметрів стану системи. Поліном у чисельнику описує нульові стани системи. Якщо нуль розташовано поруч із полюсом, відповідна частота коливань характеристик відгуку не може збуджу-ватися вхідним сигналом, Отже, цю частину моделі не можна ідентифікувати. У зв'язку із вирішенням практичних задач ідентифікації виникають три аспекти.

1)

2)

3)

2.3.2 Послідовна ідентифікація моделей з множиною вхідних та вихідних сигналів

Модель, згідно якої простір станів описується рівняннями (2.1) та (2.2), можна за-писати по іншому, із використанням рівнянь (2.10), (2.13) та (2.20), які являють собою фільтр Калмана для стаціонарних умов. Такий запис виглядатиме так:

де G - матриця вагових коефіцієнтів, розмірність якої п k, і пов'язана із коефіцієнтом підсилення Калмана К залежністю G = F? К.

Рівняння, що записано у такий спосіб, містять перешкоди; ця форма запису називає-ться фільтром Калмана у модифікації Леві.

Застосування фільтра Калмана для прогнозування стоку

Алгоритм ідентифікації використовувався для прогнозування середньодобового зна-чення стоку у річці. Інтенсивність дощових опадів задавалася трьома вхідними сигналами значення відповідають інтенсивності дощових опадів на сухі, помірно во-логі та вологі ґрунти водозбірного басейну. Мета такого розподілу вхідного сигналу на три складові - аналіз залежності нелінійної реакції водозбірного басейну від вологості ґрунту. На першій стадії ідентифікації відповідної моделі проводиться попередня обробка вхі-дних сигналів, що передбачає приведення їх до значень зі сталою спектральною щільністю. Отже, якщо виразити вхідні сигнали через , отримаємо

де - прогнозний стан на наступному кроці, - вектор вхідних сигналів розміром З 1 і - білий шум (вихідні сигнали), що задається у якості вхідних сигналів у рівняння.

На першому розрахунковому кроці вихідний сигнал описується авто регресійною функцією високого порядку

де наближено відповідає білому шуму, що не корелюється із .

Після визначення коваріаційних функцій виразу, що описується рівнянням (2.47), і завдання у ньому , отримаємо таке векторне рівняння:

де . Якщо всі замінити їх простими оцінками, цю систему рівнянь можна розв'язати відносно .

Для отримання моделі ,