У багатьох ситуаціях розрахувати одночасно і матрицю других похідних й її матема-тичне сподівання складно. Але відомо, що

Якщо математичне сподівання (у правій частині цього виразу) вирахувати складно, його можна опустити, залишивши

Отже, ітераційна схема для розрахунку набуває вигляд:

Умови, за яких цей алгоритм є збіжний, дещо обмежені, але у цілому для стаціонарних процесів метод дозволяє отримати задовільні результати. Викладене стосується функцій правдоподібності загального вигляду. Оскільки ми розглядаємо тільки ті множини, які описуються нормальним законом розподілу, конкретизуємо предмет свого обговорення. Функція правдоподібності для окремого елементу послідовності незалежних випадкових величин [], що підпорядковується нормальному закону розподілу, яка має k елементів, нульове середнє значення і характеризується матрицею дисперсії С, позначається як lt , що дорівнює

Логарифм функції правдоподібності lt дорівнює

а логарифм загальної функції правдоподібності для вектору { } дорівнює

Знайдемо тепер першу і, можливо, другу похідні . Припустимо, що кожне зна-чення є функція множини параметрів , С є функція множини , і ці множини параметрів є взаємно виключні. Приймаючи до уваги ці пе-редумови і диференціюючи по , отримаємо

Диференціювання по дає

де Тr(А) – слід матриці А.

Після прямого диференціювання і деяких алгебраїчних перетворень можна показати, що елементи математичного сподівання матриці других похідних мають вигляд:

Оскільки матриця других похідних містить нульові елементи, алгоритм розпадається на дві частини:

де члени, що містяться у правій частині цих виразів, вираховуються за останніми оцінками и та . Для аналізу збіжності алгоритму дисперсія оцінок параметрів визначається як

Вектор и містить параметри, що входять у матриці Н, F, В, G. Для кожного кон-кретного елемента цього вектора існуватиме похідна, але для її отримання необхідна додаткова множина параметрів. Ця позиція є вихідна, без неї не можна отримати ре-шту похідних. Приймаючи припущення щодо того, що початкові стани системи є тотожні параметрам, ми припускаємо, що ця система знаходиться у стані, що відрізняється від початкового стаціонарного стану.

За допомогою (2.55),(2.56) можна отримати оцінки значень параметрів моделі, яка описує простір станів із урахуванням перешкод. Такі рішення зазвичай досягаються за невелику кількість ітерацій. Основний обсяг обчислень припадає на відшукання похідних залишків моделі по параметрам.

Застосування алгоритму для прогнозування стоку із завбачливістю у добу.

Процедура ідентифікації здійснювалася у два етапи: 1) побудова моделі для приве-дення перешкод вхідних сигналів до значень зі сталою спектральною щільністю; 2) ви-користання отримуваних у результаті цієї процедури вхідних сигналів для узгодження параметрів моделі процесів, які протікають у системі опади - стік.

Це призводить до того, що параметри, що знайдені на стадії ідентифікації, приймають . такі значення, що матриця змінювання станів у моделі дощових опадів містить власні значення, які виходять за межі одиничного кола, внаслідок чого модель стає нестійкою. Отже, треба шукати ефективніші оцінки параметрів.

Модель дощових опадів містить велику кількість параметрів. Умовимося виключити із матриці G ті параметри, які мають значення менше за 0,05, а також елемент матриці F(1,2). Найправдоподібніші оцінки параметрів, які залишилися після виключення, при-зводять до таких значень елементів матриць F і G:

Значення елементів, що входять у матрицю G, є близькі до значень, які були отримані у результаті ідентифікації моделі, тоді як початкові значення елементів матриці F є менш точні.

Умови, за яких існує можливість отримання у процесі ідентифікації моделі незадовіль-них оцінок значень параметрів, до цього часу не вивчені. Можливо, кращим є уточнення оцінок, отриманих у процесі ідентифікації моделі, методом МП. Ідентифікована модель, яка описує залежність між стоком та вхідними сигналами, які приведені до розподілу із сталою спектральною щільністю, має такий вигляд:

де - ряди вхідних сигналів, що описуються розподілом зі сталою спектральною щільні-стю.

Параметри, значення яких менші 0,010, приймаються рівними нулю. Це зумовлено причинами, що згадувалися у зв'язку із оцінкою матриць F і G у моделі опадів.

H1 = [1 0 0 0];

2.5 Управління підземними водами

Моделі управління підземними водами поділяються на два типи: гідравлічні моделі управління і моделі політики підрахунку і розподілу ресурсів підземних вод.

У моделях першого типу вирішальні змінні за природою є гідравлічні, зокрема, ін-тенсивність водовідбору, у той час як вирішальні змінні, що входять у моделі другого типу, відображають політичні аспекти водокористування. У якості таких змінних можуть виступати, наприклад, ціна і розподіл води. У більшості випадків вирішальні змінні від-шукуються розрахунковими методами; при цьому гідрологічна інформація розглядається як обмеження, що накладаються на ці змінні. Зв'язок між ними є цілком визначений. Рі-шення, які приймаються по відношенню до політики водокористування, носять описовий характер; вони ґрунтуються на гідрогеологічній інформації, яку отримують у результаті моделювання.

2.5.1 Модель природної системи

Для відтворення процесів водообміну і управління водоносним горизонтом можуть використовуватися як неперервні так і дискретні моделі природного об'єкту. Розглянемо модель другого типу. Параметрами цієї моделі є Х(t), S(t), F(•), Z(t), G(•), де t = 0,1,2,...

Ці параметри відповідно означають:

1)

2)

3)