1.5 Спрощені гідравлічні моделі

Гідравлічні моделі ґрунтуються на рівняннях (1.1), (1.2). Залежно від того, які члени залишають у рівнянні (1.2), розрізняють кінематичні, дифузійні та квазістаціонарні моделі. У цілому, кінематичні моделі більшою мірою призначені для відтворення поверхневого стоку на відносно крутих схилах або річкового стоку у руслах із великим ухилом та повільним підніманням паводку. Дифузійні моделі застосовують ширше, вони спроможні відтворювати стік у річках із більш пологим ухиленням русла. Але залишається багато реально існуючих ситуацій, коли невелике ухилення русла і форма паводкової хвилі роблять непридатними ані дифузійну, ані кінематичну апроксимацію. Такі випадки мають описуватися рівняннями Сент-Венанта у їхньому повному вигляді.

1.5.1 Кінематична модель

Основною передумовою для розробки кінематичної моделі є: рівняння (1.2) можна спростити і звести до такого рівняння:

де h/x = y/x – S0.

Рівняння (1.19) означає, що момент неусталеного руху рідини приймається рівним моменту усталеного однорідного потоку, який описується рівнянням Шезі чи Маннінга або деяким аналогічним виразом, у якому розхід є однозначна функція глибини, тобто A/Q = A/y = 1/c, де Q - розвантаження (розхід), с – швидкість кінематичної хвилі, яка визначається відповідно до рівнянь (1.15) або (1.16). крім того, оскільки

і Q = AV, рівняння (1.1) можна переписати у формі класичного кінематичного рівняння

Яке можна розв'язати явними або неявними скінченно-різницевими методами, причому останнім стосовно задач річкового стоку властива більш висока ефективність.

Застосування моделі кінематичної хвилі обмежується випадками, коли існують однозначні залежності між глибиною водотоку і розходом води, а поворотні течії є несуттєві, оскільки згідно кінематичним моделям порушення потоку можуть еволюціонувати лише вниз за потоком. Крім того, кінематична модель із-за властивими їй ефектами згасання та числової дисперсії, що пов'язана із похибками, які властиві скінченно-різницевим методам розрахунків, видозмінюють хвилю паводка. Явище числової дисперсії просто імітує фізично існуюче згасання хвилі паводку, оскільки у базовому кінематичному рівнянні відсутній механізм, який би викликав таке згасання. Моделі кінематичної хвилі особливо часто застосовують для розв'язання задач поверхневого стоку, що виникає під час випадання опадів.

1.5.2 Дифузійна модель

Ще одним різновидом спрощеної гідравлічної моделі є дифузійна модель або модель систем із нульовою інерційністю. Тобто інерційні члени (перші дві складові у рівнянні (1.2)) є несуттєві. Отже, рівняння (1.2) приймає таку форму:

Рівняння (1.22) можна переписати через коефіцієнт провідності русла Кc, що являє собою однозначну функцію відмітки (h), тобто

hx = h/x. Рівняння (1.23) призначене для прямих потоків у верхній частині течії річок.

Умова стійкості скінченно-різницевої схеми для розв'язання рівнянь (1.1) та (1.23):

де В - ширина русла по водній поверхні.

Нелінійна дифузійна модель хвилі суттєво удосконалена порівняно із кінематичною моделлю, оскільки у рівняння (1.22) входить член дh/дх із рівняння (1.1), що відпо-відає нахилу водної поверхні. Цей член дозволяє дифузійній моделі описувати згасання (дифузійні ефекти) хвилі паводку. Він також надає можливість задавати межові умови на нижній межі відрізку водотоку, що розглядається, й тим самим враховувати ефекти, що пов'язані із поворотними течіями. На моделі не враховуються інерційні члени, у зв'язку з чим її застосовують, коли швидкість піднімання хвилі паводка є невелика або помірна, а геометрія русла – проста.

Третій різновид спрощеної гідравлічної моделі – квазістаціонарна гідродинамічна модель, що ґрунтується на однозначному використанні рівнянь (1.1) та (1.2) зі всіма членами, що входять до рівнянь, за винятком V/t. Таке спрощення призводить до дуже незначної економії машинного часу, але додає більші похибки ніж у разі простішої дифузійної моделі.

1.6 Повні гідравлічні моделі

1.6.1 Методи, що ґрунтуються на використанні методу характеристик

Метод характеристик передбачає, що рівняння у частинних похідних (1.1) та (1.2) спочатку перетворюються в еквівалентну систему з чотирьох рівнянь у звичайних похідних, яка потім апроксимується скінченними різницями. Динамічні моделі після цього можуть поділятися на явні і неявні залежно від типу скінченно-різницевої схеми, що використовується для розв'язання системи.

У більшості випадків метод характеристик ґрунтується на явній різницевій схемі. Мо-делі, що ґрунтуються на використанні методу характеристик, можуть мати криволінійну або прямокутну сітку в області розв'язання х-t. Явні методи є непрактичні для моделювання природних водотоків, що мають неправильну геометрію. Неявний метод моделювання водотоків (відомий як метод Хартрі) потребує залучення інтерполяційної залежності, що вбудовується у скінченно-різницеву схему розрахунків. Ці обмеження по суті перешкоджають застосування моделей, що побудовані на методі характеристик, для розрахунків паводкового стоку. Подібні моделі для водотоків, що мають поперечний перетин у вигляді призми, основані на таких чотирьох загальних диференціальних рівняннях:

Рівняння (1.25) - (1.28) тотожні рівнянням у частинних похідних Сент-Венанта (1.1),(1.2) винятком того, що вони містять латеральний приток q. У цих рівняннях vх — швидкість латерального притока у напрямку х уздовж осі водотоку, А - площа поперечного перетину, В - ширина русла по водній поверхні, у - глибина водотока.

1.6.2 Моделі, що ґрунтуються на явних схемах

Згідно з явною скінченно-різницевою схемою розв'язання рівнянь Сент-Венанта відшукується шляхом послідовного руху від точки до точки на один момент часу у розрахунковому просторі х — t доти, доки не будуть отримані оцінки всіх невідомих, що пов'язані цим моментом часу. Після цього послідовно відшукуються розв'язання на наступний момент часу. В явній схемі просторові похідні і члени, які не містять похідних, вираховуються на той момент часу, на який відомі значення всіх змінних. Невідомі містяться тільки у похідних від