де індекси t і (t + Дt) показують, на який момент часу розраховують даний член рівняння.

Неявні схеми зазвичай є чотирьохточкові, тобто рівняння, які відповідають законам збереження маси і моментів, записують для потоку на відрізку між двома суміжними перетинами. Чотирьохточкова схема із ваговими коефіцієнтами є досить гнучка при підрахунку похідних по х та членів рівняння, які не містять похідних, між двома суміжними моментами часу і розрахункової області x – t. Для забезпечення безумовної лінійної стійкості по відношенню до розміру часового кроку ваговий коефіцієнт має бути не менше за 0,5.

1.7 Базовий алгоритм

Вхідні рівняння Сент-Венанта, що описують не стаціонарні потоки, подаються у такому вигляді.

Рівняння збереження маси:

Рівняння збереження моменту:

де

Тут x – відстань уздовж поздовжньої осі, що орієнтована за руслом водотоку; Q – розхід; А - активна площа поперечного перетину; А0 - неактивна площа поперечного перетину (частина долини за межами русла, де формується його ємність); q - латеральний приток (зі знаком плюс) або відтік (зі знаком мінус); - прискорення сили тяжіння; h - відмітка водної поверхні, В - ширина русла водотоку по водній поверхні; L - кількість руху, що передається латеральним притоком; Sf – кут тертя, що визначається із рівняння Маннінга; п - коефіцієнт шорсткості Маннінга; R - гідравлічний радіус, наближено рівний А/В; Кс – коефіцієнт провідності русла; Se – локальний градієнт потоку; Ке – коефіцієнт розширення (зі знаком мінус) або стискання (зі знаком плюс); Wf - поправка на силу вітру; Сw – безрозмірний вітровий коефіцієнт; Vr - швидкість вітру (Vw) відносно швидкості руслової течії; w - гострий кут між напрямком вітру та напрямком річкової течії, Vw має знак мінус, якщо вітер спрямований за течією.

У неявній різницевій схемі, за якою відшукується розв'язок рівнянь (1.37), (1.38) відносно h і Q, розрахункову область апроксимують прямокутною сіткою дискретних то-чок. Розрахункові точки (вузли) можуть бути віддалені один від одного на однакові чи неоднакові інтервали Дt та Дx.

Кожний вузол позначається підрядковим індексом і, який визначає його розташува-ння на осі х, та надрядковим індексом j, що відповідає певному моменту часу. Для пере-творення нелінійних скінченно-різницевих рівнянь Сент-Венанта у нелінійні алгебраїчні рівняння застосовують неявну чотирьохточкову схему із ваговими коефіцієнтами.

Апроксимуємо похідні скінченно-різницевими схемами. Маємо:

де К - відповідає будь-якій змінній, що входять у вищенаведені диференціальні рівняння; - ваговий коефіцієнт, що змінюється у діапазоні від 0,5 до 1; і - підрядковий індекс, що позначає послідовний номер поперечного перетину або відрізка Дx; і - надрядковий індекс, що позначає порядковий номер часового зрізу у розрахунковій області х – t. Якщо ваговий коефіцієнт = 0,5, схема, що отримують, відома під назвою "чорного ящика" , у той час як розрахункову схему, в якій = 1, називають "повністю неявною" схемою. Для забезпечення безумовної лінійної стійкості чисельної схеми та досягнення придатної точності рекомендується значення задавати близьким до 0,5. Зі змінюванням від 0,5 до 1,0 точність розв'язання зменшується. Цей ефект стає чіткіше вираженим зі збільшенням розміру часового кроку. Найчастіше задають у діапазоні 0,55-0,60.

Підставивши скінченно-різницеві апроксимації у рівняння (1.37), (1.38), і помножуючи їх на , отримаємо таке скінченно-різницеве рівняння:

Інфільтраційні витрати із річкового стоку:

Рівняння (1.45), (1.46) є нелінійні відносно невідомих h та Q у точках і та і + 1 у момент часу, j + 1. Всі члени рівнянь, що стосуються j-го шару, відомі, чи то як задані у якості початкових умов, чи то на основі попередніх розрахунків. У якості початкових умов дають значення h та Q у кожній розрахунковій точці (вузлі) уздовж осі х на початковий момент часу j = 1.

Рівняння (1.45), (1.46) являють собою нелінійні алгебраїчні рівняння, які неможливо розв'язати прямим (явним) способом, оскільки у цих двох рівняннях містяться чотири відомих значення h і Q: у точках і та і + 1 на момент часу і + 1. Але якщо аналогічні рівняння записати для кожного з N – 1 відрізків Дх, що розташовані між верхнім та нижнім отворами водотоку, що розглядається, у результаті отримаємо 2N – 2 рівнянь із 2N невідомими. Додаткові два рівняння, що необхідні для визначення системи, складають межові умови, що задані: одне - у головному отворі водотоку, друге - у замикаючому отворі. Систему рівнянь, що отримують, яка складається із 2N рівнянь із 2N невідомими, розв'язують методом Ньютона-Рафсона.

1.7.1 Метод Ньютона-Рафсона

Метод Ньютона-Рафсона являє собою функціональну Ітераційну процедуру розв'яза-ння системи нелінійних функціональних рівнянь. Цей метод ґрунтується на розкладанні нелінійної функції у ряди Тейлора з урахуванням тільки лінійних членів розкладання. Алгоритм, що отримують, виглядає так:

де - деяка векторна величина; J' - якобіан (матриця коефіцієнтів, що складається із частинних похідних, які визначаються значеннями ; f() - нелінійне рівняння, записане через значення ; ДХ - вектор, що містить 2N невідомих.

де к - номер ітерації.

Зазвичай приймається, що умова збіжності розв'язання, яке отримують відносно від-міток водної поверхні досягається, якщо похибка обчислень ? 0,003 м. Умова збіжності для розходів задається у розмірності м3/с відповідно до такої залежності:

Процес збіжності залежить від того, наскільки добре задано початкове наближення X0 вектора . Досить гарно вхідні значення розходів та відміток водної поверхні задавати початковими умовами при (при t = 0).

Перші оцінки значень на наступні часові кроки можна отримати шляхом екс-траполяції розв'язань, що стосуються