де і - розміри часових кроків між часовими зрізами, що відповідають розрахун-ковим векторам та . Ваговий коефіцієнт можна задавати у діапазоні від 0 до 1.

Якобіан складається із елементів (l,k), що розташовано уздовж головної діагоналі із двома елементами у першому та 2N-му рядках, що відповідають зовнішнім межовим умовам, які задаються у верхньому та нижньому отворах; решта рядків містять по чоти-ри елементи, які є частинні похідні рівнянь (1.45), (1.46) відносно чотирьох невідомих функцій (,,,). Кожна суміжна пара рядків являє собою результат по-слідовного прикладення рівнянь (1.45), (1.46) до кожного із відрізків , на які водотік розбивається на відстані від верхньої до нижньої меж.

За припущення, що деяка змінна є репрезентативна для рівняння (1.45), а змінна - для рівняння (1.46), їхні похідні можна записати у такому вигляді:

Частинні похідні обчислюються по такому алгоритму:

Латеральний притік:

Об’ємний латеральний відтік:

Інфільтраційні витрати з річкового стоку:

У рівняннях (1.57)-(1.64)підрядкові індекси І та k позначають порядкові номери рядку та стовпця, до яких відноситься даний елемент якобіану. Індекс l для першого відрізку Дx має значення 2 і збільшується із кроком, рівним 2, для кожного наступного відрізку Дx у процесі руху від верхньої межі водотоку до нижньої. Індекс k має значе-ння, рівне 1, для першого відрізку Дx і збільшується із кроком, рівним 2, для кожного наступного відрізку Дx.

Отже, метод Ньютона—Рафсона дозволяє отримати систему, що складається із 2N 2N лінійних рівнянь. Якобіан, або матриця коефіцієнтів цієї системи містить вирази, що записані у частинних похідних через перші оцінки векторної множини Xk . Права частина рівняння (1.53) являє собою залишок - деякий вектор, значення якого отримані у резуль-таті розв'язання рівнянь (1.45),(1.46) за розрахованими значеннями Xk , що стосуються невідомих розходів і відміток водної поверхні. Розв'язання лінійної системи, що описується рівнянням (1.53), дозволяє отримати значення поправки, яка вноситься у перші пробні (оціночні) значення невідомих.

1.7.2 Розрахунок матиці коефіцієнтів

Забезпечення гнучкості неявної розрахункової схеми потребує ефективного методу матричних перетворень, рівняння (1.53) розв'язують за допомогою певної модифікації методу включення Гауса. У матричних позначеннях рівняння (1.53) можна переписати як:

[А]Х = R , (1.67)

де [А] - матриця коефіцієнтів із елементами, , X, R - вектори-стовпці.

Матриця коефіцієнтів містить головним чином нульові елементи за винятком чоти-рьох елементів у кожному рядку, що містяться уздовж головної діагоналі. Ефективний алгоритм - метод п'ятидіагональної прогонки - виконується при послідовному переборі індексу l = 2,4,6,..., 2 N – 2 і проводиться за такими формулами:

де k' =0 при l = 2 та k' =2 при l > 2.

Компоненти розрахункового вектору Х(xl) отримують шляхом оберненого ходу методу прогонки, починаючи з l = 2N і послідовно переміщуючись до l = 1.

де k' =2 при l >1та k' = 0 при l = 1.

У разі коли розглядають гідрографи швидкого піднімання води у руслах, перетини яких характеризуються значною мінливістю у вертикальній площині та (або) уздовж осі х, можуть статися обчислювальні проблеми, які проявляються у тому, що не досягається збіжність ітераційного алгоритму Ньютона-Рафсона або, наприклад, отримають занадто занижені розрахункові значення глибини потоку на передній межі хвилі, що рухається, із різким фронтом.

Коли починають відчуватися подібні обставини, задіюють автоматичну процедуру, яку реалізують у два етапи.

Першою чергою поточний крок за часом ділять навпіл і обчислення на ньому повторюють. Якщо після цього ця проблема залишається, Дx знову ділять навпіл і розрахунки повторюють доти, доки не отримають задовільне розв'язання або часовий крок не зменшиться до 1/16 його початкового значення. Якщо досягнуто задовільне розв'язання, переходять до наступного кроку у часі, розмір якого дорівнює його початковому значенню.

Якщо розв'язання, яке отримане із часовим кроком, що дорівнює Д /16, є незадовільне, ваговий коефіцієнт збільшують на 0,1, а часовий крок задається рівним Д/2. Після досягнення задовільного розв'язання та Дt знову задають початкові значення.

1.8 Зовнішні межі і початкові умови

1.8.1 Верхня межа водотоку

На верхньому отворі передбачають дві можливості завдання межових умов: або через питомі розходи, або через ряди спостережень за змінюванням відміток водної поверхні (гідрографа). Якщо використовують гідрограф розходів Q(t), рівняння, що описує умову і межі, виглядає так:

У цьому разі частинні похідні, що входять в якобіан, визначаються як

Якщо за межові умови використовують дані спостережень за відмітками водної поверхні , рівняння, що описує цю умову, можна записати як

У цьому разі частинні похідні складають

де е – певне довільне мале число, наприклад, 0,0001. Це число запроваджується для того, щоб елемент матриці коефіцієнтів не дорівнював нулю.

Гідрографи, що використовують у якості межової умови на головному отворі, не по-винні залежати від умов стоку на ділянках, які розташовані нижче за течією від цієї межі.

1.8.2 Нижня межа водотоку

За межову умову на нижньому отворі можуть задаватися розходи або дані режимних спостережень за змінюванням відміток водної поверхні. Якщо межова умова задається гідрографом стоку Q'(t), рівняння на межі має вигляд:

а частинні похідні, що входять в якобіан, складають

Дані про змінювання на межі відміток водної поверхні h?(t), що пов'язані, зокрема, із фактичними або прогнозними явищами, описуються рівнянням:

а частинні похідні, що входять в якобіан, складають

Крім того, у якості межової умови на нижньому отворі часто використовують спів-відношення між розходом і глибиною водотоку або відмітками водної поверхні, зокрема, однозначні криві розходу, що задаються у табличній формі, яка містить значення Qk, hk . Із таблиці можна отримати будь-яке значення