Інша важлива характеристика, яка важлива при обґрунтуванні моделей, призначе-них для прогнозування у реальному часі, це - лінійність об'єкту, що розглядається. Такі моделі ґрунтуються на фундаментальній передумові відносно того, що до складних гі-дрологічних систем можна застосувати "закон великих систем", сутність якого полягає у такому. Множина нелінійних параметрів, що характеризується розподіленістю параметрів, часто можна подати лінійною моделлю із зосередженими параметрами та адитивними ви-падковими перешкодами.

Клас моделей із дискретною розбивкою у часі, який використовується для вирішення задач прогнозування, у якості прототипу їх математичної структури має відому у теорії систем дискретну за часом систему Гаусса-Маркова.

Діаграма системи Гаусса-Маркова, може бути охаракте-ризована рівняннями, що описують простір станів:

де - вектор вихідних сигналів у момент часу t, що складається із k 1 елементів; - вектор вхідних сигналів, що складається із т 1 елементів; хt - вектор станів системи, що містить п 1 елементів.

Змінні , та - матриці вагових коефіцієнтів відповідної розмірності. Змінні і являють собою вектори шуму, що входять відповідно у рівняння, які описують стан системи і вихідні сигнали. У багатьох випадках приймається, що перешкоди, що входять у ці рівняння, описуються нормальним розподілом із середнім значенням, рівним нулю.

Важливо відзначити, що єдиними змінними, що мають фізичний сенс, є вхідні та вихідні сигнали, оскільки вони, у принципі, піддаються спостереженням та замірам. Стани не обов'язково мають виражатися кількісно, певною фізичною величиною, що заміряна. Поняття про стан системи запроваджується як певний математичний еквівалент для того, щоб використати уявлення про причинну обумовленість явищ і внутрішньої структури при опису процесу.

Поряд з тим у багатьох випадках задачі ставляться таким чином, що змінні (зокрема, інтенсивність стоку) розглядаються як параметри стану системи, а їх заміряні значення - як вихідні сигнали. У цьому разі член рівняння, що відповідає перешкодам , являє собою модельний шум, пов'язаний із тим, що рівняння стану описує гідрологічні процеси неточно: при обґрунтуванні моделі проводиться або лінеаризація динамічних параметрів процесів, що розглядаються, або фактичний просторовий розподіл певних характеристик природного об'єкту апроксимують моделлю із зосередженими параметрами. При цьому член рівняння представлятиме собою похибки у визначення станів.

При виборі типу моделі, яка відповідає задачі, що має вирішуватися, (або фізично обґрунтованій моделі із розподіленими параметрами, чи концептуальній моделі із зосере-дженими параметрами, або моделі вхід - вихід, що працює за принципом "чорного ящика"), обмеження, пов'язані із тим чи іншим трактуванням простору станів на стадії обґрунту-вання моделі, виникають рідко. Вирішальне обмеження, що обумовлює представництво і адекватність моделі, має пов'язуватися із процесом ідентифікації параметрів. Це питання безпосередньо пов'язане із проблемою однозначності оцінок параметрів моделі за відомим значеннями вхідних та вихідних сигналів.

Сформулюємо тепер задачу гідрологічного прогнозування у реальному часі. Чи мо-жна відшукати "оптимальні" прогнозні вектори станів і вихідних сигналів, користуючись "забрудненою" перешкодами моделлю, що описує динаміку станів гідрологічної системи (рівняння (2.1), та "забрудненими" перешкодами значеннями вихідних сигналів або ви-мірювань (рівняння (2.2)? Оптимальним вважається прогноз, що мінімізує дисперсію похибок прогнозування. Відповідь на поставлене запитання має бути позитивною: такі оптимальні прогнозні вектори можна отримати за допомогою алгоритму, що ґрунтується на використанні фільтру Калмана. Фільтр Калмана, що ґрунтується на використанні фа-ктичних вимірювань, узгоджує похибки моделювання і вихідних сигналів таким чином, щоб дисперсія похибок вектора станів була мінімальною.

Передумови для використання рівнянь (2.1),(2.2) при адаптивному прогнозуванні у реальному часі створюються самим типом рівняння (2.1) і тією обставиною, що його структура основана на припущенні про залежність від .

2.2 Фільтр Калмана: принципи, що лежать у його основі

Ідентифікація структури моделі, оцінювання параметрів і прогнозування станів систе-ми розглядаються як ланки єдиного ланцюга. У перших працях з прогнозування стохастичних процесів та часових рядів розглядалися стаціонарні стохастичні процеси, що про-тікають у дискретному чи неперервному часі. Потім ці процеси розповсюдили на випадок нестаціонарних процесів зі скінченним числом інтервалів спостереження, а у подальшому і на нелінійні системи і системи, що не належить до гауссових.

Стан системи можна описати двома рівняннями - рівнянням стану (2.1) та рівнянням (2.2), що описує вихідні сигнали моделі або результати замірів фактичного відгуку систе-ми. Оперуючи поняттям вихідних сигналів, заміряних до певного моменту часу t включно, можна назвати три типи задач, що виникають у зв'язку із оцінюванням стану системи: фільтрація стохастичної системи - оцінювання хф при ф = t, згладжування - оцінювання хt при ф < t і прогнозування - оцінювання хф при ф > t. Оцінка хф часто позначається як . Тим самим показують, що цю оцінку отримують за замірами, виконаними до моменту часу t включно.

Серед методів фільтрації найбільше розповсюдження отримав метод, що розроблений Калманом стосовно до оцінювання станів лінійних систем, які характеризуються відоми-ми динамічними і стохастичними параметрами за припущення, що розподіл похибок опи-сується нормальним законом. Фільтр являється рекурентним співвідношенням. У цьому відношенні фільтр Калмана відрізняється від фільтра Вінера, згідно з яким стан системи описується корелограмою, а сам фільтр являє собою розв'язання інтегрального рівняння Вінера – Хопфа.

Переваги фільтра Калмана полягають у такому:

а) оптимальне прогнозування на основі оптимальної фільтрації;

б) опис системи у просторі станів є досить універсальний, що дозволяє використовувати фільтр даної структури для створення різноманітних гідрологічних моделей;

в) є можливість окремого завдання похибок моделювання або шуму та похибок вимірювань;

г) розрахунки проводяться за рекурентними співвідношеннями, що обумовлює необхідність оброблення та збереження невеликої кількості вхідних даних;

д) точність