Рис.2.1. Фільтрація двовимірного вектору стану системи

На рис.2.1. дано схематичне подання фільтрації двовимірного вектору стану системи. Екстраполяція стану системи від моменту t — 1 на момент часу t проводиться за рівнянням (2.1). Із прогнозуванням пов'язана певна невизначеність, що описується еліпсом невизна-ченості. Стан системи, що спостерігається, описується величиною , яка містить де-який шум. Для отримання відфільтрованої оцінки фільтрації підпорядковуються дві оцінки, та . Логіка розробки алгоритму фільтрації, відповідно до якого мінімізу-ють коваріаційний еліпс розсіювання похибок, що пов'язані із оцінкою , розглянуто у наступному розділі.

2.2.1 Виведення фільтра Калмана

Розглянемо дискретну лінійну систему у просторі станів

де , , та у - ті самі позначення, що й у рівняннях (2.1).(2.2).

Ця система рівнянь відрізняється від системи рівнянь (2.1),(2.2) тим, що у рівнян-ні (2.3) відсутній член з , що відповідає зовнішнім впливам. Приймається, що вектор шуму належить до типу гауссового білого шуму зі статистиками N(0,Q). Вектор пере-шкод що пов'язаний із похибками вимірювань, також належить типу гауссового білого шуму зі статистиками N(0,R); коваріаційна матриця R є додатно визначена. Передбача-ється також, що перешкоди не корельовані між собою, тобто для всіх t і ф. Більше того, приймається, що обидва типи перешкод не залежать від стану системи, яке характеризується певними початковими статистиками .

Після наведених означень задачу фільтрації можна сформулювати таким чином: за заданою послідовністю вихідних сигналів , що описуються рів-нянням (2.4), отримати таку оптимальну відфільтровану оцінку стану , щоб похибка оцінки мінімізувала б квадратичну функцію похибки

у будь-який момент часу t.

У рівнянні (2.5) L - деяка додатно визначена матриця.

Припустимо, що існує прогнозна оцінка стану і потрібно отримати відфільтро-вану оцінку , яка б враховувала нову інформацію про , що отримана у момент часу t. Ми можемо побудувати відфільтровану оцінку як деяку лінійну комбінацію прогнозної оцінки і нового вимірювання, тобто

де , - матриці вагових коефіцієнтів, що змінюються у часі й які задаються таким чином, щоб задовольнити такі умови, що накладено на фільтр: оцінка стану системи у будь-який момент часу має бути незміщеною і мати мінімальну дисперсію. Якщо похибку оцінки стану визначити як

то після підстановки виразу для , та у рівняння (2.6) отримаємо

За визначенням М[] = 0, тобто якщо М[] = 0, оцінка буде незміщеною. Тобто М[] = 0 у разі, коли величина = 0.

Отже, незміщеність оцінки гарантовано досягається за умови, що

Якщо цей вираз підставити у рівняння (2.6), отримаємо

або

Відповідна похибка оцінки складає

Величина

називається залишком фільтру, а коефіцієнтом підсилення Калмана. Для забезпече-ння мінімальної дисперсії фільтра, необхідно вибрати оптимальне значення . Для цього треба побудувати матриці дисперсії-коваріації та . Вони записуються таким чи-ном:

Вираз для можна отримати шляхом підстановки значення , що описується рівнян-ням (2.12), у рівняння (2.14). У результаті цієї підстановки отримаємо

Члени цього рівняння

Далі, використовуючи визначення та , отримаємо

Критерієм вибору є мінімізація певного функціоналу, що задається рівнянням (2.5). У цілому, можна говорити про те, що значення , яке доставляє мінімум функціо-налу , не залежить від L, й, отже, можна прийняти, що матриця L визначена. Отже, рівняння (2.5) можна переписати як

де - слід матриці.

Мінімальному значенню відповідає умова

Якщо цей вираз переписати у вигляді

то можна отримати оптимальне значення :

Після підстановки виразу для у рівняння (2.16) отримаємо

де є коваріаційна матриця похибок фільтрації, що отримують за умови, коли викори-стовується значення , яка задається рівнянням (2.18).

Далі головну увагу зосередимо на тому, яким чином після отримання даних вимі-рювань можна отримати відфільтровану оцінку стану системи та матрицю дисперсії-коваріації, що характеризує похибку цієї оцінки. Прогнозний стан системи можна отри-мати шляхом підстановки виразів, що описують та , із рівняння (2.7) у рівняння (2.8). Очікуваний стан у цьому разі можна записати як

Якщо відняти рівняння (2.3), яке описує систему, що розглядається, із рівняння (2.20), отримаємо значення похибки оцінки стану цієї системи :

Із якого можна отримати матрицю як

Використовуючи визначення Q і матрицю дисперсії-коваріації похибки оцінки прогнозного стану системи визначимо як

Алгоритм, у відповідності з яким працює дискретний фільтр Калмана, у загально-му вигляді зводить до такого. Із використанням даних спостережень на момент часу і розраховують вектор залишків (рівняння (2.13)), коефіцієнт підсилення (рівняння (2.18)), відфільтрований або модифікований вектор станів (рівняння (2.11)) і моди-фікована коваріаційна матриця похибок оцінок станів (рівняння (2.19)). У разі коли вирішується задача прогнозування станів, прогнозний стан системи визначається відпо-відно з рівнянням (2.20), а коваріаційна матриця похибок прогнозування станів - відповідно до рівняння (2.23).

Алгоритм, у відповідності з яким працює дискретний фільтр Калмана, можна подати у вигляді такої таблиці

Модель системи |

+ ТіШі

Вихідний сигнал

Початкові умови

Інші припущення

Фільтр працює у момент спостережень

Залишок фільтра

Коефіцієнт підсилення фільтра* | і

Модифікована оцінка стану

коваріаційна матриця

похибок оцінки

Фільтр працює на прогноз

Прогнозна оцінка стану

Коваріаційна матриця похибок

Прогнозної оцінки стану

Табл. 2.1. Стандартний фільтр

Наведена інтерпретація фільтру відрізняється від описаної вище за трьома позиціями:

1)

2)

3)

2.2.2 Аналіз характеристик фільтра Калмана

Властивості залишку фільтра

Оцінку характеристик фільтра можна будувати на основі аналізу послідовності зали-шків {v1, v2,…,vt}, Що описується рівнянням (2.13). Згідно визначенню

Звідки випливає, що залишок містить у