Матриці використовують для відшукання значень елементів матриці G у рівнянні (2.46). Перші три матриці отримані у вигляді

Елементи матриць Н та F відшукують за методом канонічного аналізу випадкових змінних. У якості вектора вхідних сигналів на попередньому часовому кроці задають послідовність . Цей вектор містить 36 елементів. Першим елементом прогнозного вектора є . У цьому прикладі канонічний аналіз випадкових змінних передбачає канонічний кореляційний зв'язок між цим прогнозним вектором та вектором, що стосується попереднього часового кроку. Квадрат коефіцієнта кореляції у цьому разі складає 0,056, статистичний критерій ч2 - 158,5, число ступенів свободи - 36. Ймовірність того, що реалізація процесу, що описується ч2 – розподілом із 36 ступенями свободи, складає або перевищує 158,5, зневажливо мала; отже, гіпотеза відносно того, що перше значення канонічного коефіцієнта кореляції дорівнює нулю, непридатна.

Результати розрахунків наступних прогнозних векторів та проведеного канонічного аналізу дали:

Тут записані як та . Потім процедура узгодження продовжується для членів ряду з індексами 2 та 3 доти, доки не отримаємо повну множину змінних стану системи, що завдається рядом .

Кінцева модель, яка записана у вигляді, що відповідає рівнянню (2.46), виглядатиме так:

Значення елементів матриці G, рядки якої тотожні рядкам {123568 9} матриці , отримані у вигляді

Рядки, що пропущені, відповідають елементам прогнозного вектора , що не були включені у завершальний вектор прогнозних значень.

Метою узгодження моделі, що розглядається, із фактичними даними про атмосферні опади було отримання апріорних оцінок перешкод , які мають сталу спектральну щіль-ність. Якщо модель не реагує на зовнішні впливи, вона не може використовуватися для цієї мети, оскільки призводить до неоднозначних оцінок: два власні значення матриці F розташовані за межами одиничного кола. Уточнені оцінки параметрів можна отримати, виконавши ідентифікацію структури моделі і скориставшись методом максимальної прав-доподібності. За умови, що отримана відповідна множина параметрів, можна записати послідовність :

Виконавши ці процедури, можна ідентифікувати модель процесу стоку.

Ця модель разом із моделлю дощових опадів можне використовуватися для прогно-зування реакції процесів стоку на опади у реальному часі.

2.4 Оцінювання параметрів

На початку цієї глави основна увага приділялася питанням, що пов'язані із поданням прогнозної гідрологічної моделі системою, яка складається із двох рівнянь, що описують вектор стану природного об'єкта (рівняння (2.1), (2.2) або (2.44), (2.45)). За припу-щення, що значення параметрів моделі відомі, було розглянуто послідовність виведення фільтра Калмана. У дійсності така ситуація трапляється рідко. У цьому разі необхідно розв'язувати задачу оцінювання цих параметрів.

Суттєвою відправною точкою під час обговорення питань, пов'язаних із оцінюванням параметрів, є концепція ідентифіковності цих параметрів. За допомогою певного алгори-тму можуть оцінюватися тільки ті параметри, які ідентифікуються у явний спосіб. Під ідентифіковністю параметрів розуміють можливість визначення їхніх значень на основі даних замірів

Ідентифікована підмножина параметрів, що входять у матрицю змінювання станів F , позначимо через F*. За заданих замірах Y рекурентна підстановка рівняння стану у рівняння, що описує заміри (за припущення, що вони не містять похибок), призводить до таких залежностей:

Позначимо Тоді праві частини системи запишуться як НFІТ. Оцінити можна тільки параметри, які включають НF []. Для того, щоб виконувалася умо-ва єдності оцінки параметрів, матриця ІТ повинна мати обернену, тобто не виродженою, або, що те саме, мати ранг п. Фізично це означає, що рівняння стану структуроване таким чином, що хо впливає на всі форми коливань системи.

Отже, існують дві вимоги, що визначають умови ідентифіковності параметрів за ре-зультатами спостережень за вихідними сигналами у. Перша з них стосується матриці І: якщо матриця I обратима, параметри моделі є потенційно ідентифіковні. Параметри, що є реально ідентифіковані, визначаються структурою рівняння у вигляді матриці Н, що описує заміряні вихідні сигнали. Може статися так, що коли система є потенційно іденти-фікована (що відображається у характері матриці І), але у дійсності погана організація мережі спостережень (що проявляється у матриці Н) може перевести її у клас не іденти-фікованих.

Розглянемо такий приклад. Запишемо таке рівняння стану (де qt - розхід річки і рt - інтенсивність атмосферних опадів). Нехай

У цій системі рівнянь ідентифіковними є тільки елементи матриці

У разі, коли вимірювалася тільки інтенсивність атмосферних опадів, можна записати матрицю замірів Н' = [0 1 0 0]; тоді ідентифіковними можуть бути параметри F' = Н'F = [0 ]. Аналогічно у ситуації, коли є тільки заміри розходів річки, Н" = [1 0 0 0], а ідетинфікованими є тільки елементи .

2.4.1 Алгоритм оцінювання параметрів в автономному режимі, що ґрун-тується на методі МП

Опис алгоритму

Розглянемо можливості методу максимальної правдоподібності (МП) для оцінки па-раметрів моделей, що описуються рівняннями (2.44),(2.45) за припущення, що визна-чається функцією щільності ймовірності, яка задається нормальним законом розподілу.

Для заданої послідовності спостережень , де є k – вимірний вектор, функцію правдоподібності, прямо пропорційну спільній щільності ймовірності , можна записати як L = L(и,), де и - вектор п невідомих параметрів. Оцінки цих параметрів отримують шляхом максимізації L (або, що те саме, логарифма L), що досягається шляхом підбору значень и. Для оцінки в застосовують ітеративну процедуру, яка ґрунтується на добре відомому методі Ньютона-Рафсона. Згідно цьому алгоритму відшукуються значення

Зазвичай матрицю других похідних замінюють її математичним сподіванням у межах простору, що розглядається; алгоритм, який використовують у цьому разі, називають ме-тодом оцінок. Для визначених умов регулярності послідовні ітерації збігаю-ться до найправдоподібнішої оцінки . Дисперсія цієї оцінки дорівнює . Відзначимо, що L розцінюється