де N - кількість лінійних елементів, Г() - гамма-функція, К - характерна часова стала лінійної ємності, ф - часова стала. Параметри К і ф визначаються з використанням процеси калібрування, описаної Меддоузом. Подібний підхід до аналізу стоку за допомогою одиничного відгуку і уявлень про одиничну лінійну ємність застосовував Зауер. Цей підхід аналогічний методу аналізу одиничного гідрографа, який застосовують для розрахунків зливового стока. Крім того, він є близький до методів запізнювання.

1.3.2 Лінеаризовані моделі, що ґрунтуються на вхідних рівняннях Сент-Венанта

Лінеаризовані моделі, що ґрунтуються на вхідних рівняннях Сент-Венанта у тому вигляді, у якому їх отримав автор, розроблялися Лайтхіллом, Уітемом [10] та Харлі [7].

10. Lsghthill M.J., Whitham G.B. (1995) On kinematics floods, Floods movements in long rivers. In: Proc. Royal Society Lond. A229, 281 – 316.

7. Harley B.M. (1967) linear Routing in Uniform Channels. Thesis, University College, Cork, Ireland.

Якщо рівняння (1.1) та (1.2) переписати для одиниці ширини русла у термінах одиничного розвантаження q? та глибини водотоку y, а потім об'єднати їх і лінеаризувати дносно еталонної швидкості течії (V0 = q?0/y0), отримаємо таке лінеаризоване рівняння:

де S0 - ухилення русла водотоку. Харлі зі співавтором [10] отримали такий вираз для функції одиничного відгуку, що входить у рівняння (1.8):

де

J1() – функція Бусселя першого роду.ця модель схожа на простішу аналогову модель дифузії, що розроблена Харлі, але на відміну від неї не має тенденції до завищення оцінок згасання хвилі паводку. Точність цієї моделі значною мірою залежить від прийнятого еталонного значення розходу. У [13] наведено опис удосконалення метода, призначеного для лінеаризації моделей.

1.4 Гідрологічні моделі

Гідрологічні моделі ґрунтуються на рівнянні збереження маси (1.1), яке можна переписати у такому вигляді:

І-О =ДS/Дt, (1.10)

де ДS – змінювання ємності у межах даного відрізку водотоку протягом певного проміжку часу Дt. Приймається, що ємність (S) зв'язана з притоком (І) або (та) відтоком (О), тобто

S = К[ХІ + (1 – Х)0], (1.11)

де К - деяка ємнісна стала, що має розмірність часу (с), і X - деякий ваговий коефіцієнт, 0 ? X ? 1. Всі гідрологічні моделі можна застосовувати лише у випадках, коли співвідношення між глибиною і розходом є однозначні. Отже, ці моделі не враховують наявності поворотних течій, що пов'язані із приливними явищами, суттєвим надходженням води з притоків, запрудами та мостами. Більшість гідрологічних моделей можна застосовуватися лише у випадках, коли наявні фактичні гідрографи на головному та замикаючому отворах. Коли фактичні гідрографи використовуються для калібрування коефіцієнтів стоку, змінювання конфігурації хвилі паводку за період спостережень не враховується, тобто значення коефіцієнтів стоку, що отримують в результаті калібрування моделі, відображають лише усереднену конфігурацію хвилі. У загальному випадку гідрологічні моделі містять два параметри, що підлягають калібруванню. У якості критерію при виконанні такого калібрування зазвичай використовується точність відтворення на моделі швидкості розповсюдження хвилі паводку і характеру згасання амплітуди.

1.4.1 Ємнісні моделі стоку

Ємнісні моделі стоку отримані за припущення, що параметр X, що входить у рівняння (1.10), дорівнює нулю, тобто ємність залежить тільки від розвантаження. Переписавши рівняння (1.10) у вигляді середньоарифметичних скінченних різниць, отримаємо таку ємнісну модель стоку:

яку можна також записати у вигляді

Це рівняння може бути розв'язане методом покрокового пошуку відносно лівої частини, оскільки О1 та S1 є величини, що вже відомі на момент часу t = 0. Розхід у замикаючому отворі певного відрізка O2 можна визначити за залежністю S2 = f(0), яку отримують на основі аналізу вхідного та вихідного гідрографів.

1.4.2 Модель Маскінгама

Якщо рівняння (1.11) із ненульовими значеннями К та X застосувати до залежності, яка описує ємності, і підставити його у рівняння (1.12), отримаємо такий вираз для розрахунку O:

O2 = С1І2 + С2 І1 + С3О1 + С4, (1.14)

де

С0 = К - КХ +Дt /2, С1 = - (КХ - Дt/2)/С0, С2 = (КХ + Дt/2)/С0;

Модель Максінгама являє собою рівняння (1.14), яке доповненне членами, що враховують ефекти латерального притоку q уздовж відрізку русла протяжністю Дх. Параметри К і Х визначають на грунті аналізу гідрографів, що стосуються головного та замикаючому отворів відрізку із використанням одного із таких методів: 1) метода найменших квадратів або відповідному до нього графічного методу; 2) методу моментів: 3) методу накопичених різниць: 4) прямого оптимізаційного методу.

Кунг, на основі припущення про однозначну залежність між глибиною потоку і його розходом і використовуючи класичне рівняння кінематичної хвилі та наближений Неявний точковий скінченно-різницевий метод, вивів рівняння (1.14), в якому К та X визначаться виразами

Тут с - швидкість розповсюдження кінематичної хвилі, що відповідає еталонному розходу через одиницю ширини , - довжина відрізку, - ухилення дна русла. Рівняння для с можна записати в іншому вигляді, тобто

Тут А0 - площа поперечного перетину, яка відповідає загальному еталонному розходу Q0, B0 – ширина русла, що відповідає Q0, у - глибина потоку.

Для опису залежності між тертям, глибиною потоку та швидкістю використовується рівняння Маннінга. Залежно від форми поперечного перетину русла значення в можуть змінюватися у діапазоні 1 ? в ? 5/3. Вибір відповідного часового кроку Дt проводиться у відповідності до залежності:

Дt = Тr /М, (1.17)

де Тr - час зростання розходу на головному отворі, М - деяке ціле число, що варіюється у діапазоні від 5 до 20 залежно від ступеня