Для отримання явного розв’язання скінченно-різнецевих аналогів рівнянь (1.1), (1.2) на моделях вони зазвичай виражаються таким чином:

де ВT - ширина загального перетину русла по водній поверхні (тобто активного та па-сивного перетинів); під пасивним перетином мається на увазі частина долини за межами русла, що формує його ємність. Крім того, у рівняннях (1.29) та (1.30) враховується латеральний приток q.

Явні методи, хоча вони і відносно прості порівняно із неявними методами, мають обмеження, пов'язане із розміром розрахункового часового кроку (Дt), який має вибира-тися таким чином, щоб забезпечити стійкість чисельного розв'язання. У схемі Стоукера максимально допустимий часовий крок (Дt) дорівнює

де п - коефіцієнт шорсткості Маннінга, с1 = 1,0 коли використовується метрична система одиниць, і с1 = 2,21, коли використовується англійська система одиниць, R - гідравлі-чний радіус. Перші два члени, що містяться у знаменнику, відповідають добре відомій умові Кюре відносно стійкості явних схем при моделюванні потоку, у якому відсутнє тер-тя. Третій член відповідає за ефекти тертя. Ця нерівність або умова, що близька до неї, застосовується до всіх моделей, що ґрунтуються на використанні явних методів. Аналіз нерівності (1.31) свідчить про те, що зі збільшенням середньої глибини русла у певному перетині (А/В) розрахунковий часовий крок суттєво зменшується. Отже, при моделю-ванні паводкового стоку із великих річок, навіть незважаючи на те, що хвиля паводку може нарощуватися дуже поступово, протягом тижнів, нерідко для забезпечення стійко-сті чисельного розв'язання необхідне завдання часового кроку порядку кількох хвилин або навіть секунд. Ще один недолік явних схем полягає у тому, що вони потребують завдання рівномірного кроку по просторовій змінній Дx.

1.6.3 Моделі, що ґрунтуються на неявних розрахункових схемах

Згідно неявних скінченно-різницевим схемам розв'язання рівнянь Сент-Венанта від-шукується шляхом послідовного руху від одного моменту часу до іншого одночасно для всіх точок на просторовій осі (осі х, спрямованої за течією річки) у розрахунковій області.

Отже, у неявних схемах у разі, коли скінченно-різницеві аналоги рівнянь Сент-Венанта одночасно записуються для N перетинів уздовж осі x, утворюється система із 2N алге-браїчних рівнянь. Система алгебраїчних рівнянь, що отримується у такий спосіб, може бути як лінійною, так і нелінійною залежно від того, яким чином апроксимують члени, що не містять похідних.

Неявні методи є безумовно стійкі, тобто спрощені лінеаризовані аналоги рівнянь Сент-Венанта у процесі їх розв'язання чисельними методами є стійкі незалежно від розмірів часового кроку та кроку за простором. Разом з тим було з'ясовано, що у разі, коли часові кроки дуже великі, а члени рівнянь, які містять похідні х, при моделюванні швидко-плинних нестаціонарних компонентів потоку не досить повно оцінені на моменти часу у майбутньому, може виникнути нестійкість неявних схем. Крім того, розмір часових кроків обмежується міркуваннями потрібної точності розв'язання. З'ясовано, що Дt залежить від форми хвилі, умови Кюре, Дx і типу неявної схеми, що використовується. Нестійкість чи-сельних розв'язань може бути пов'язана також з нелінійностями, що виникають внаслідок мінливості поперечного перетину русла, ширина якого швидко змінюється у напрямку х (уздовж; водотоку) або у вертикальній площині.

У обчислювальному аспекті моделі, що використовують неявні схеми, є складніші за моделі, що використовують явні схеми. Залежно від типу неявної схеми (лінійної чи не-лінійної) кількість обчислень на кожному часовому кроці у кілька раз більша ніж у разі використання явної схеми. Ця додаткова кількість обчислень значно збільшується, коли метод розв'язання є неефективний із-за того, що переважає стрічкова структура матри-ці коефіцієнтів даної системи рівнянь. До ефективних розрахункових методів належить компактний п'ятидіагональний метод виключень, описаний Фрідом [7] (ґрунтується на ви-користанні матриці коефіцієнтів системи рівнянь, що має стрічкову структуру), і метод повторного пошуку [ ].

Якщо неявна схема лінійна, на кожному часовому кроці необхідно отримати тільки один розв'язок системи рівнянь. Але коли неявна схема є нелінійна, для отримання розв'язку необхідно використовувати ітераційні методи. Застосування ітераційного методу Ньютона—Рафсона для розв'язання нелінійних систем рівнянь за умови, що обрані критерії збіжності є реальні, забезпечує отримання дуже ефективних оцінок. Якщо метод Ньютона—Рафсона використовують тільки один раз, нелінійна модель, що побудована на неявній схемі, за суттю справи тотожна лінеаризованій моделі, яка використовує явну схему, відносно затрат машинного часу і ефективності результатів.

Нелінійні неявні схеми можуть ґрунтуватися на консервативній формі запису рівнянь Сент-Венанта, яка включає латеральний потік q (притоку відповідає знак "+", відтоку ? - ?) та площу частини долини за межами русла, в якій формується його ємність (пасивна течія) А0. За залежні змінні діє розхід Q і відмітки водної поверхні h. Така форма запису має вигляд:

де L = -qхx для латерального притоку, L = -qQ/(2A) для об’ємного латерального відтоку і L = - qQ/(2А) для латерального височування.

Важливе достоїнство рівнянь (1.32), (1.33), коли вони виражені у скінченно-різницевій формі, полягає у тому, що вони дозволяють точно описувати хвилі із різким фронтом, що розповсюджуються у водотоках їх поперечним перетином, який має форму, що відрізняється від призми.

Лінійні неявні методи часто ґрунтуються на використанні розгорнутих аналогів рівнянь (1.32) та (1.33), тобто

де ВТ - загальна ширина долини по верхній межі (активного та пасивного перетинів), () - змінювання А у напрямку осі х за фіксованої глибини водотоку у, а Sf розкладають у ряд