Лекція 1

Множини. Відображення. Відношення.

§1. Множини

а) Означення множини. Операції над множинами

Під множиною розуміють довільну сукупність об’єктів, які називають елементами цієї множини. Позначаються множини зазвичай великими буквами алфавітів, а елементи множин – малими буквами того ж алфавіту. Символічний запис означає, що а є елементом множини А, або а належить множині А. Заперечення цього факту позначається . Якщо множина задається переліченням її елементів, то вони записуються в фігурних дужках. Наприклад, – множина степенів трійки, що знаходяться в першій десятці натуральних чисел. Для означення множини А часто використовують якусь властивість, притаманну тільки елементам із А. Наприклад, – множина натуральних чисел.

Кажуть, що множина В – підмножина множини А (В міститься в А), якщо кожен елемент множини В є елементом множини А. Позначають . Символічний запис: .

Порожня множина ш, яка зовсім не містить елементів, за означенням входить до числа підмножин довільної множини. Для довільної множини А сама множина А і порожня множина називаються невласними підмножинами. Всі решта підмножини називають власними. Так, множина із двох елементів має чотири підмножини: невласні – і ш, власні – .

Дві множини А та В співпадають (або рівні), якщо у них одні і ті ж елементи. Символічний запис:

або .

Об’єднанням двох множин А та В називають множину, яка складається із

всіх елементів, що належать хоча б одній із цих множин. Символічний запис:

.

Перетином двох множин А та В називають множину, яка складається із всіх елементів, що належать як одній, так і другій множині. Символічний запис:

.

Різницею двох множин А та В називається множина, яка складається із всіх

елементів, що належать першій із них і не належать другій. Символічний запис:

.

Якщо , то різниця множин називається доповненням множини В до множини А. Позначають доповнення В до А через (С – перша буква французького слова “complement”- доповнення).

Об’єднання різниць та називають симетричною різницею. Символічний запис: або .

Інколи множину, підмножини якої розглядаються в деякій задачі, називають універсальною для цієї задачі. Доповнення її підмножини А до універсальної множини U називають просто доповненням і позначають .

Наочну картину про найпростіші властивості множин дає схематичне зображення множин у вигляді фігур на площині, зокрема, кіл. Такі схеми названі діаграмами Ейлера-Венна. Універсальну множину зручно при цьому зображати прямокутником.

Приклади.

б) Основні властивості операцій над множинами

Властивості об’єднання і перетину

1. .

2. .

3. .

4. комутативність об’єднання і перетину (commutatius – переставний (лат.)).

5. ідемпотентність об’єднання і перетину (idem – той самий, potenti – здатний (лат.)).

6. асоціативність об’єднання і перетину (аssotiatіo – сполучення (лат.)).

7. дистрибутивність об’єднання відносно перетину та перетину відносно об’єднання.

Доведемо для прикладу властивість 7.

Властивості різниці множин

1. .

2. .

3. .

4. ш.

5. .

6. .

Властивості доповнень множин

1. .

2. ш.

3. .

4. .

5. .

Властивості порожньої множини

1. ш.

2. ш = ш.

3. ш = А.

4. ш ш = ш.

5. ш ш = ш.

в) Прямий (декартів) добуток множин

Нехай А та В – довільні множини. Пару (а,b) елементів взятих в даному порядку, називають впорядкованою парою. Дві впорядковані пари та рівні тоді і тільки тоді, коли рівними є їх відповідні елементи:

Прямим або декартовим добутком добутком множин А та В називається множина всіх упорядкованих пар (а,b) елементів, із яких перший належить першій множині А, а другий – другій множині В. Символічний запис:

Приклад.

Ясно, що операція декартового множення є некомутативною. Множину називають декартовим квадратом і позначають , - декартовим кубом і т.д.

Прямим або декартовим добутком множин називається множина всіх упорядкованих сукупностей п елементів, із яких перший належить першій множині , другий – другій , і т.д., останній – .

Якщо , то матимемо –

п-ий декартів степінь множини А. Елементами є рядки довжиною п.

Приклад.–

множина всеможливих точок дійсного тривимірного простору (декартів куб).

§2. Відображення

При заданих множинах X і Y відображення f із областю визначення X і областю значень Y ставить у відповідність кожному елементу елемент . Символічний запис:

або .

У випадку відображення f називають перетворенням f множини X в себе.

Образом при відображенні f називається множина всіх елементів виду . Позначається Im f (Im – від image – англ.). Символічний запис:

Множина називається прообразом елемента . Аналогічно вводиться поняття прообразу множини

Відображення називається сюр’єктивним (або відображенням на), якщо , тобто якщо кожен елемент множини Y має прообраз.

Відображення називається ін’єктивним, якщо із випливає тобто якщо різним елементам із прообразу співставляються різні елементи із образу.

Відображення називається бієктивним або взаємно однозначним, якщо воно одночасно сюр’єктивне та ін’єктивне.

Два відображення f та g називаються рівними, якщо їх відповідні області визначення та значень співпадають, причому

Одиничним (або тотожнім) відображенням називається відображення, яке переводить кожний елемент в себе.

Якщо X – підмножина Y, то відображення , яке кожному елементу ставить у відповідність той же елемент x, але вже в множині Y, називається вкладенням .

Відображення називається звуженням (або обмеженням) відображення , якщо і В свою чергу відображення g називається продовженням відображення f.

Добутком (або композицією) двох відображень і називається відображення , яке визначається умовою

Суть добре видно із трикутної діаграми

Це комутативна діаграма, оскільки результат переходу від X до Z не залежить від того, чи здійснюється він з допомогою , чи використовується проміжний етап Y.

Ясно, що композиція визначена не для будь-яких відображень f і g, оскільки для цього необхідною є спільна множина Y. Для простоти замість пишуть просто

Композиція відображень в загальному некомутативна, тобто

Композиція відображень асоціативна, тобто