Нехай і – деякі відображення, такі що композиції і визначені. Якщо , то f називається лівим оберненим до g, а g – правим оберненим до f . Якщо ж , то g називається двостороннім оберненим до f (а f – до g) і позначається . Обернене до себе має тільки взаємно однозначне (бієктивне) відображення f, причому це обернене відображення теж бієктивне.

§3. Бінарні відношення на множині

а) Властивості бінарних відношень

Бінарне відношення на множині А називається рефлексивним, якщо (кожен елемент множини перебуває у даному відношенні сам із собою).

Відношення називають нерефлексивним, якщо в множині А існує елемент х, який не перебуває у відношенні сам із собою:

Відношення називається антирефлексивним, якщо для будь-якого має місце

Ясно, що антирефлексивне відношення є нерефлексивним, але не рефлексивне не завжди є антирефлексивним.

Бінарне відношення на множині А називається симетричним, якщо

Відношення називають несиметричним (асиметричним), якщо .

Відношення називається антисиметричним, якщо виконується умова

Відношення називається транзитивним, якщо

Відношення називається досконалим, якщо виконується

Приклади.

1. Відношення „більше” на множині дійсних чисел є антирефлексивним, антисиметричним, транзитивним і досконалим.

2. Відношення „не більше” на множині дійсних чисел рефлексивне, антисиметричне, транзитивне і досконале.

3. Відношення „бути батьком” на множині чоловіків антирефлексивне, несиметричне (ні симетричне, ні антисиметричне), не транзитивне, не досконале.

б) Відношення еквівалентності

Відношення називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Приклади.

1. Відношення рівності.

2. Відношення подібності трикутників.

Розбиттям непорожньої множини А називається сукупність непорожніх підмножин Х множини А таких, що:

1. ш.

2. Об’єднання всіх підмножин Х множини А дорівнює множині А.

Якщо – відношення еквівалентності на множині А, то можна утворити розбиття множини А на класи еквівалентних елементів так, щоб для будь-яких , які належать до одного класу, справджувалось , а для будь-яких , які належать до різних класів, справджувалось

Приклади.

1. Відношення еквівалентності – „бути подібним” розбиває множину всіх трикутників площини на класи подібних між собою трикутників.

2. Відношення еквівалентності – „навчатися в одній групі” розбиває множину студентів факультету на класи еквівалентності – академічні групи.

в) Відношення порядку

Відношення називають відношенням строгого порядку, якщо воно антирефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

Приклади.

1. Відношення „бути вищим” на множині людей є відношенням строгого порядку.

2. Відношення „ділиться на” на множині натуральних чисел є відношенням нестрогого порядку.

Якщо на деякій множині задано відношення порядку, то цю множину називають впорядкованою.

Спільною рисою всіх відношень порядку є властивість транзитивності.

Одним із класів нетранзитивних відношень є так звані відношення толерантності, які характеризуються властивостями рефлективності і симетричності.