Лекція 3

Комплексні числа

1.Основні поняття

Протягом всього курсу алгебри декілька разів відбувається збагачення запасу чисел. Зокрема, множина Z цілих чисел була розширена множиною Q раціональних чисел, та, в свою чергу, множиною R дійсних чисел. Необхідність таких розширень грунтується на відсутності в попередніх множинах розв’язків певних типів рівнянь. Так, в першому випадку це були, наприклад, рівняння ax=b, де а,bZ, в другому – рівняння axn=b, де a,bQ, nN. Ще один тип рівнянь, зокрема, х2+1=0, змушує розширити множину дійсних чисел, оскільки в ній коренів цього рівняння не існує.

В ролі елементів нової множини чисел виберемо точки площини. Нехай на площині вибрана прямокутна система координат. Точки площини позначатимемо буквами б,в,г,… і записуватимемо точку б з абсцисою а і ординатою b через б = (a,b).

Сумою точок б = (a,b) і в = (c,d) назвемо точку б+в з абсцисою а+с і ординатою b+d, тобто

б+в = (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d).

Добутком цих же точок назвемо точку б·в з абсцисою ас-bd і ординатою ad+dc, тобто

б·в = (a,b)·(c,d) = (ac-bd, ad+bc).

Пряма перевірка підтверджує, що множина точок площини із вибраними таким чином операціями додавання і множення утворює поле. Це числове поле (в якому числа зображаються точками площини) названо полем комплексних чисел. Якщо точці (а,0) осі абсцис поставити у відповідність дійсне число а, то отримається взаємно однозначна відповідність (ізоморфізм) між точками осі абсцис і множиною дійсних чисел, причому операції додавання і множення точок осі абсцис і дійсних чисел аналогічні.

(а,0)+(b,0) = (a+b,0),

(а,0)·(b,0) = (ab,0).

Тому не розрізнятимемо точку (а,0) та дійсне число а і вважатимемо (а,0) = а. Отже, поле комплексних чисел містить підмножину точок осі абсцис, ізоморфну полю дійсних чисел, тобто є його розширенням.

Покажемо, що це розширення містить корені рівняння х2+1=0, тобто елемент, квадрат якого рівний -1. Розглянемо точку (0,1), яка лежить на осі ординат на відстані 1 вгору від початку координат, і знайдемо її квадрат: (0,1)·(0,1) = (-1,0) = -1. Позначають точку (0,1) буквою і. Отже, і2 = -1.

Отримаємо для побудованих комплексних чисел звичайний запис:

(a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+b·(0,1) = a+bi.

Ця форма запису комплексного числа називається алгебраїчною.

В записі комплексного числа число а називають його дійсною частиною (позначають Reб), а число bi – його уявною частиною (позначають Imб).

Площина, точки якої ототожнені з комплексними числами, названа комплексною площиною, вісь абсцис – дійсною віссю, вісь ординат – уявною віссю.

Число = a-bi, яке відрізняється від = a+bi тільки знаком при уявній частині, називається числом, спряженим з . Геометрично спряжені числа є точками, розміщеними симетрично відносно дійсної осі.

§2. Дії над комплексними числами

1. (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.

2. (a+bi) – (c+di) = (a – c) + (b – d)i.

3. (a+bi)(c+di) = (ac – bd) + (ad+ bc)i.

4. = = + i.

5. = .

6. = +.

7. = - .

8. = ·.

9. = . Доведення всіх формул здійснюється безпосередньо.

Із малюнка видно, що додавання комплексних чисел геометрично здійснюється за правилом паралелограма (аналогічно віднімання – за правилом трикутника).

Оскільки комплексні числа розміщені не на одній прямій, то їх не можна впорядкувати з допомогою понять “більше” і “менше”, тому поле комплексних чисел невпорядковане.

в) Тригонометрична форма комплексного числа

Положення точки на комплексній площині може бути задане як декартовими координатами а, b (б=a+bi), так і її полярними координатами: відстанню r від початку координат до точки і кутом між додатнім напрямом осі абсцис і напрямом із початку координат на цю точку.

Число r називають модулем числа (позначається ), а кут - аргументом числа (позначається arg). Зв’язок між декартовими та полярними координатами має вигляд: a = rcos, b = rsin.

Звідси r = .

Запис числа б в полярних координатах є таким:

б = a+bi = rcos+(rsin)i, тобто

б = r(cos+isin).

Ця форма запису комплексного числа називається тригонометричною.

Приклад.

Число б = 1 + і в тригонометричній формі виглядає так:

б = (cos+isin).

Знайдемо добуток двох комплексних чисел б = r (cos+isin) та

в = .

Отже: , тобто

модуль добутку комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників;

, тобто

аргумент добутку комплексних чисел дорівнює сумі аргументів співмножників.

Ці правила поширюються на довільну кількість співмножників.

Аналогічні правила мають місце і для частки . Нехай в ? 0.

звідки випливає, що

модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника,

аргумент частки дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.

Із того, що 1=1+і•0=cos0+isin0, і при б=r(cos+isin)? 0 отримаємо

б-1=r-1[cos(-)+isin(-)].

§3. Піднесення до степеня і добування кореня

а) Піднесення до степеня

При цілому додатньому n для числа, поданого в тригонометричній

формі, має місце так звана формула Муавра піднесення його до степеня:

тобто при піднесенні комплексного числа до степеня модуль підноситься до цього степеня, а аргумент множиться на показник степеня.

Доводиться формула Муавра методом математичної індукції. Випадок n=2 випливає із доведеної вище формули добутку двох комплексних чисел. Із припущення правильності формули для n=k, тобто

розглянемо випадок n=k+1:

що і треба було довести.^

Формула Муавра правильна і для цілих невід’ємних показників. Дійсно, оскільки , то достатньо застосувати формулу Муавра до числа , тригонометрична форма якого відома:

.

Приклад.

б) Добування кореня

Розглянемо тепер добування кореня n-го степеня із комплексного числа Це означає, що потрібно знайти таке комплексне число ,