Згідно формули Муавра ()n = r, звідки

,

де в правій частині знаходиться однозначно визначене додатне значення кореня. Оскільки кути та можуть відрізнятися на ціле кратне , то = +k, звідки

.

Таким чином,

,

де k = 0,1,2,…, n-1 (оскільки при інших значеннях k корені будуть повторюва-тись).

Кут можна записати і так: , де k=0,1,2,…, n-1.

Отже, добування кореня n-го степеня із комплексного числа б завжди можливе і дає n різних значень. Всі ці значення розміщені на колі радіуса з центром в нулі і ділять коло на n рівних частин.

в) Корені з одиниці

Випадок добування кореня n-го степеня із числа 1 є особливо важливим. Оскільки 1=cos0+isin0, то

, k = 0,1,2,…,n-1.

На комплексній площині корені n-го степеня з одиниці розміщені на колі одиничного радіуса і ділять його на n рівних дуг, один із коренів рівний 1 (при k=0).

Приклад.

має два значення: 1 і -1. має три значення: . має чотири значення: 1, і, -1, -і.

Всі значення кореня n-го степеня із комплексного числа б можна отримати множенням одного із цих значень на всі корені n-го степеня із одиниці.

Дійсно, якщо в – одне із значень , тобто =б, а - довільне значення , тобто , то , тобто теж буде одним із значень для . Множачи в на кожний із коренів n-го степеня з одиниці, отримаємо всі n різних значень коренів n-го степеня з б.

Добуток двох коренів n-го степеня із одиниці сам є коренем n-го степеня із одиниці. Дійсно, якщо і , то

Число, обернене до кореня n-го степеня з 1, само є коренем n-го степеня з одиниці. Дійсно, якщо , то із випливає , тобто .

Із цих двох тверджень випливає, що довільний степінь кореня n-го степеня з одиниці також є коренем n-го степеня з одиниці.

Згідно формули Муавра, .

Для кожного n існують такі корені n-го степеня з одиниці, які не є коренями із одиниці ніякого меншого степеня. Такі корені називаються первісними коренями n-го степеня з одиниці.

Якщо є первісним коренем n-го степеня з одиниці, то число тоді і тільки тоді буде первісним коренем n-го степеня, коли (k,n)=1. Це означає, що первісними є тільки ті корені , для яких (k,n)=1. Це, зокрема, і .

Доведемо сформульоване твердження. Позначимо (k,n) = d.

Нехай d>1. Тоді , , звідки , тобто корінь виявився коренем -го степеня із одиниці.

Нехай d=1 і нехай є коренем m-го степеня із одиниці, де 1? m < n.

Тоді . Оскільки – первісний корінь n-го степеня із одиниці, то n , звідки k з n не є взаємно простими, що суперечить припущенню.^

Якщо n – просте число, то первісними коренями n-го степеня з одиниці є всі корені, крім самої одиниці.