T+a22T=0, (5)

X+2X=0. (6)

Рішаючи їх знайдем:

, X=Acosx+Bsinx.

Підставляючи в (3), отримаємо:

(7)

постійна С включається в А() і В().

Для кожного значення ми торимаєм рішення виду (7). Произвольные постійні А і В для кожного значення мають визначені значення. Виходячі з цього можна рахувати А і В функціями від . Сума рішень виду (7) також є рішенням:

.

Інтегруючи вираз (7) по параметру в границях від 0 до також отримаємо рішення

, (8)

якщо А() і В() такі, що цей інтеграл, його похідна по t і друга похідна по х існують і дістаютьсяшляхом диференціювання інтеграла по t і по х. Підберем А() і В() так, щоб рішення u(x,t) задовільняло умові (2). Покладаючись в рівності (8) t=0, на основі умови (2) дістанемо:

. (9)

Припустимо, що функція (х) такова, що вона представіма інтегралом Фур’є:

або

. (10)

зрівнюючи праві частини (9) і (10), отримаємо:

(11)

підставляючи знайдені вирази А() і В() у формулу (8) отримаємо:

або, міняючи порядок інтегрування, отримаємо

. (12)

Це і є рішення поставленої задачі.

Перетворемо формулу (12). Обрахуємо інтеграл, що стоїть в круглих душках:

. (13)

Це перетворення інтеграла зроблено шляхом підстановки

. (14)

Позначимо

. (15)

Диференціюючи, отримаємо:

.

Інтегруючи по частинах, знайдем:

або

Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм:

. (16)

Знайдем постійну С. З (15) слідує:

Отже, в рівності (16) має бути

.

Тоді,

. (17)

Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13)

.

Підставляючи замість його вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):

. (18)

Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:

. (19)

Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.

Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію

0 при -<x<x0,

*(х)= (x) при x0xx0+x, (20)

0 при x0+x<x<.

Тоді функція

(21)

є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення *(х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:

.

Примінем теорему про середнє до останього інтегралу, отримаємо:

. (22)

Формула (22) дає значення температури в точці стержня в довільний момент часу, якщо при t=0 в усьому стержні температура u*=0, крім відрізка [x0,x0+x], де вона рівна (х). Сума температур виду (22) і дає рішення (19). Замітимо, що якщо - лінійна густина стержня, с – темплоємність матеріала, то кількість тепла в елементі [x0,x0+x] при t=0 буде

Q()xc. (23)

Розглянемо далі функцію

. (24)

зрівнюючи її з правою частиною формули (22) з урахуванням (23), говорять, що вона дає значення температур в любій точці стержня в довільний момент часу t, якщо при t=0 в січній було миттєве джерело теплоти з кількістю тепла Q=c.

Тема: Рішення задачі Діріхле для кола.

Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f(), де - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r,), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа

. (1)

і на окружності кола що приймає задані значення

. (2)

Будем рішати задачу в полярних координатах. Перепишемо рівняння (1) в цих координатах:

(1)

Будем шукати рішення методом розділення змінних, покладаючи

U=Ф()R(r). (3)

Підставляючи в ріність (1’), вийде:

r2Ф()R(r)+rФ()R(r)+Ф()R(r)=0

або

. (4)

Так як ліва частина цієї рівності не залежить від r, а права від , отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через –k2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:

Ф()+k2Ф()=0, (5)

r2R(r)+rR(r)-k2R(r)=0 (5)

Загальне рішення рівності (5) буде

Ф=Аcosk+Bsink. (6)

Рішення рівняння (5) будем шукати у формі R(r)=rm. Підставляючи R(r)=rm у (5), дістанемо:

r2m(m-1)rm-1-k2rm=0

або

m2-k2=0.

Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5) буде

R=Crk+Dr-k. (7)

Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):

Uk=(Akcosk+Bksink)(Ckrk+Dkr-k). (8)

Функція (8) буде рішенням рівняння (1) при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5) приймають вид:

Ф=0, rR(r)+R(r)=0,

отже,

U0=(A0+B0)(C0+D0lnr). (8)

Рішення має бути періодичною функцією від , так як при одному і тому ж значенні r при і +2 ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8) має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8) має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.

Таким чином, права частина (8) перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,

. (8)

Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від . Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями

K=1, 2, …, n, …,

так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від’ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,

(9)

(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні An і Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:

. (10)

Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f() розкладалась в ряд Фур’є в інтервалі (-,), та щоб AnRn і BnRn були її коефіцієнтами Фур’є. Отже, An і Bn мали визначатись по формулам:

. (11)

Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і . Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:

. (12)

Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:

. (13)

Замінюючи вираз, що в квадратних душкаху у формулі (12), виразом (13), отримаюмо:

. (14)

Формула (14)