Матеріали до лекцій з теми “Комплексні числа”
“Комплексні числа”
1.У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежетись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корень з від’їмних чисел. Але чисел, які піднесені до квадрату дають від’ємні числа, тоді не знали і тому вважали, що квадратні корені з від’ємних чисел не існують, тобто задачі, які до них приводять, не мають розв’язків. Зокрема, так було під час розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом, наприклад:
хІ - 4х + 10 = 0 х?,?=2±-6.
тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел, прєданням до неї нових так, щоб у розширеній множині крім чотирьох арифметичних дій – додавання, віднімання, множення і ділення (за вийнятком ділення на нуль), можна було виконувати дію добування кореня. Це питання було успішно розв’язано лише у ХІХ сторіччі. Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають задовільнятися такі вимоги:
озачення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;
для нових чисел повині виконуватись п’ять законів прямих арифметичних чисел (пригадайте ці закони);
у новій числовій множині мусить мати розв’язок рівняння
хІ=-1.
Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння хІ=-1 мало розв’язок, необхідно внести деяке нове число, вважаючи його розв’язком цього рівняння. Число, квадрат якого дорівнює –1, позначають буквою і і називають уявною одиницею (і – перша буква латинського слова imaginarius – уявний). Підкреслимо, що рівність іІ=-1 приймається за означенням і не доводиться. До нової множини мають належати числа виду bЯ (добуток дійсного числа на уявну одиницю) і числа виду a + bЯ (сумма дійсного числа a та добуток дійсного числа b на уявну одиницю).
Отже, нова множина множина чисел повина містити всі числа виду a + bЯ.Числа виду a + bЯ, де a і b – довільні дійсні числа, аЯ – уявна одиниця називають комплексними. Слово “комплексний” означає складений. Число a називають дійсною частиною числа a + bЯ , а вираз bЯ – уявною.
Число називають коефіцієнтом при уявній частині. Наприклад, у числі 6 + 7Я дійсна частина 6, уявна 7. Коефіціент при уявній частині дорівнює 7. Дійсною частиною числа 0 + 3Яє число нуль, а уявною – вираз 3Я; коефіцієнт при уявній частині дорівнює 3. Числа виду a + 0Я ототожнюються з дійсними числами, а саме вважають, що a + 0Я=a. Таким чином виконується обов’язкова для будь – якого розширення поняття числа вимога, щоб попередній числовий “запас” входив до нової числової множини як її частина. Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел. Відповідно до вимог, що ставляться при будь – якому розширення поняття числа, при побудові множини комплексних чисел треба ввести за означенням умову рівності цих чисел і правила виконання прямих дій – додавання і множення.
Два комплексних числа a + bЯ і c + dЯрівні між собою тоді і тільки тоді, коли a = c і b=d, тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.
Поняття “більше” і “менше” для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше 10Я чи 3Я, 2+5Я чи 5+2Я.
Важливим є поняття про спяжені комплексні числа. Числа a + bЯ і a - bЯ, дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявих частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими. Можна сказати простіше: числа a + bЯ і a - bЯ, які відрізняються лише знаком уявної частини, називають спряженими.
Наприклад, спряженими є комплексні числа 4+3Я та 4-3Я; 2-Я та 2+Я; -8+7Я та –8-7Я;-5-Я та –5+Я. Якщо дане число 6Я, то спряженим до нього є –6Я. До числа 11 спряженим буде 11, бо 11+0Я=11-0Я.
2.Дії над комплексними числами.
а) додавання комплексних чисел.
Означення: сумою двох комплексних чисел a + bЯ і c + dЯ називається комплексне число (a + c) + (b + d)Я, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при явних частинах додатків, тобто (a + bЯ) + (c + dЯ) = (a + c) + (b + d)Я.
Приклади. Виконати додавання комплексних чисел:
(3+2Я) + (-1-5Я) = (3-1) + (2-5)Я = 2-3Я
(4-5Я) + (2-Я) = (4+2) + (-5-1)Я = 6-6Я
(2+3Я) + (6-3Я) = (2+6) + (3-3)Я= 8
(10 – 3Я) + (-10+3Я) = (10-10) + (-3+3)Я = 0
З наведених прикладів випливає, що додавання комплексних чисел ми виконуємо за правилом додавання многочленів. У множині дійсних чисел справедлива рівність a + 0 = a. У множині комплексних чисел нулем є число 0 + 0Я. Справді, яке б не було число , справедлива рівність
(a + bЯ) + (0+0Я) = (a +0) + (b +0)Я = a + bЯ
За аналогією з дійсними числами, для комплексних чисел вводиться поняття про протилежні числа: два числа a + bЯ та -a - bЯ, сумма яких дорівнює 0, називають протилежними.
Додавання комплексних чилел підлягає переставному та сполучному законам. Доведемо, наприклад, справедливість переставного закону додавання комплексних чисел. Нехай,z? = a + bЯ, z?= c + dЯ. Тоді z?+
