“Комплексні числа”

1.У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежетись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корень з від’їмних чисел. Але чисел, які піднесені до квадрату дають від’ємні числа, тоді не знали і тому вважали, що квадратні корені з від’ємних чисел не існують, тобто задачі, які до них приводять, не мають розв’язків. Зокрема, так було під час розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом, наприклад:

хІ - 4х + 10 = 0 х?,?=2±-6.

тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел, прєданням до неї нових так, щоб у розширеній множині крім чотирьох арифметичних дій – додавання, віднімання, множення і ділення (за вийнятком ділення на нуль), можна було виконувати дію добування кореня. Це питання було успішно розв’язано лише у ХІХ сторіччі. Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають задовільнятися такі вимоги:

хІ=-1.

Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння хІ=-1 мало розв’язок, необхідно внести деяке нове число, вважаючи його розв’язком цього рівняння. Число, квадрат якого дорівнює –1, позначають буквою і і називають уявною одиницею (і – перша буква латинського слова imaginarius – уявний). Підкреслимо, що рівність іІ=-1 приймається за означенням і не доводиться. До нової множини мають належати числа виду bЯ (добуток дійсного числа на уявну одиницю) і числа виду a + bЯ (сумма дійсного числа a та добуток дійсного числа b на уявну одиницю).

Отже, нова множина множина чисел повина містити всі числа виду a + bЯ.Числа виду a + bЯ, де a і b – довільні дійсні числа, аЯ – уявна одиниця називають комплексними. Слово “комплексний” означає складений. Число a називають дійсною частиною числа a + bЯ , а вираз bЯ – уявною.

Число називають коефіцієнтом при уявній частині. Наприклад, у числі 6 + 7Я дійсна частина 6, уявна 7. Коефіціент при уявній частині дорівнює 7. Дійсною частиною числа 0 + 3Яє число нуль, а уявною – вираз 3Я; коефіцієнт при уявній частині дорівнює 3. Числа виду a + 0Я ототожнюються з дійсними числами, а саме вважають, що a + 0Я=a. Таким чином виконується обов’язкова для будь – якого розширення поняття числа вимога, щоб попередній числовий “запас” входив до нової числової множини як її частина. Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел. Відповідно до вимог, що ставляться при будь – якому розширення поняття числа, при побудові множини комплексних чисел треба ввести за означенням умову рівності цих чисел і правила виконання прямих дій – додавання і множення.

Два комплексних числа a + bЯ і c + dЯрівні між собою тоді і тільки тоді, коли a = c і b=d, тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття “більше” і “менше” для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше 10Я чи 3Я, 2+5Я чи 5+2Я.

Важливим є поняття про спяжені комплексні числа. Числа a + bЯ і a - bЯ, дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявих частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими. Можна сказати простіше: числа a + bЯ і a - bЯ, які відрізняються лише знаком уявної частини, називають спряженими.

Наприклад, спряженими є комплексні числа 4+3Я та 4-3Я; 2-Я та 2+Я; -8+7Я та –8-7Я;-5-Я та –5+Я. Якщо дане число 6Я, то спряженим до нього є –6Я. До числа 11 спряженим буде 11, бо 11+0Я=11-0Я.

2.Дії над комплексними числами.

а) додавання комплексних чисел.

Означення: сумою двох комплексних чисел a + bЯ і c + dЯ називається комплексне число (a + c) + (b + d)Я, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при явних частинах додатків, тобто (a + bЯ) + (c + dЯ) = (a + c) + (b + d)Я.

Приклади. Виконати додавання комплексних чисел:

З наведених прикладів випливає, що додавання комплексних чисел ми виконуємо за правилом додавання многочленів. У множині дійсних чисел справедлива рівність a + 0 = a. У множині комплексних чисел нулем є число 0 + 0Я. Справді, яке б не було число , справедлива рівність

(a + bЯ) + (0+0Я) = (a +0) + (b +0)Я = a + bЯ

За аналогією з дійсними числами, для комплексних чисел вводиться поняття про протилежні числа: два числа a + bЯ та -a - bЯ, сумма яких дорівнює 0, називають протилежними.

Додавання комплексних чилел підлягає переставному та сполучному законам. Доведемо, наприклад, справедливість переставного закону додавання комплексних чисел. Нехай,z? = a + bЯ, z?= c + dЯ. Тоді z?+