z? = (a + bЯ) + (c + dЯ) = (a + c) + (b+d )Я , z?+ z? = (c + dЯ) + (a + bЯ) = (c + a) + (d+b)Я. Оскільки для додавання дійсних чисел справджується переставний закон, тобто a + c = c + a; b+d = d+b, тобто (a + c) + (b+d)Я = (c + a) + (d+b)Я , то z? + z? = z?+ z?, що й треба було довести. Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.
б) віднімання комплексних чисел.
Віднімання комплексних чисел означають як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.
Означення. Різницею двох комплексних чисел z?= a + bЯ і z? = c + dЯ називається таке комплексне число z?= x+yЯ , яке в суммі з z? дає z?.
Отже, z?- z?= z?, якщо z? + z?= z?. можливість дії віднімання комплексних чисел та її однозначність потребує доведення.
Доведемо, що для будь – яких комплексних чисел z?= a + bЯ і z? = c + dЯ різниця z?- z? визначена і до того ж однозначно. Доведемо, що існує, і до того ж єдине, комплексне число z?= x+yЯ, яке в сумі з z? дає z?.
За означенням дії віднімання, (c + dЯ) + (x+yЯ) = a + bЯ. виконавши додавання в лівій частині рівності, дістанемо:
(c + x) + (d + y)Я = a + bЯ (1).
З умови рівності двох комплексних чисел маємо:
c + x = a
d + y = b
Ця система має розвиток, і до того ж єдиний: x = a - c, y = b – d. Отже, існує , і до того ж єдина, пара дійсних чисел (x, y), яка задовільняє рівняння (1), що і треба було довести. З доведеного випливає, що віднімання комплексних чисел виконують за таким правилом:
(a + bЯ) – (c + dЯ) = (a - c) + (b – d)Я
Приклади: Виконати віднімання комплексних чисел.
(3+4Я) – (1+2Я) = (3-1) + (4-2)Я = 2 + 2Я;
(-5+2Я) – (2+Я) = (-5-2) + (2-1)Я = -7+Я;
(6+7Я) – (6-5Я) = (6-6) + (7+5)Я = 12Я;
(0,3+2,5Я) – (-0,75+1,5Я) = (0,3+0,75Я) + (2,5-1,5Я) = 1,05+Я;
(2-2Я) – (2+3Я) = (2-2) + (-2-3)Я = -5Я;
1+1/2) – (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.
в) Множення комплексних чисел.
Означення. Добутком двох комплексних чисел a + bЯ і c + dЯ називається комплексне число (ac - bd) + (ad + bc)Я . Суть і доцільність цьго означення стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що цей добуток утворений так, як виконується множення двочленів з дійсними коефіцієнтами, а саме (a + bЯ)( c + dЯ) = ac + adЯ + bcЯ + bdЯІ = ac + (ad + bc)Я + bdЯІ. Замінюючи, за означенням, ЯІна –1, дістанемо: bdЯІ = -bd . Відокремивши дійсну частину від уявної, остаточно матимемо:
(a + bЯ)( c + dЯ) = (ac - bd) + (ad + bc)Я (2)
Формулу (2) не слід намагатися механічно запам’ятати. Під час множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів a + bЯ і c + dЯ з наступною заміною ЯІна –1.
Приклади: Виконити множення комплексних чисел.
1) (4-5Я)(3+2Я) = 12+8Я -15Я -10ЯІ= 12+10-7Я =22-7Я;
2)(3-Я)(2+5Я) = 6-2Я+15Я-5 ЯІ= (6+5) + (15-2)Я;
3)8Ях3Ях3 = -243;
4)(2-Я)(-5) = -10+5Я;
5)(-4-3Я)(-6Я) = -18+24Я.
Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсних чисел: переставному і сполучному.
Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо: (a + bЯ)( a - bЯ) = aІ - (bЯ)І = aІ -bІЯІ = aІ + bІ, тобто (a + bЯ)( a - bЯ) = aІ + bІ.
Приклади: Обчислити добуток.
(3+5Я)(3-5Я) = 9+25 = 34;
(2+Я)(2-Я) = 4+1 = 5;
(4+3Я)(4-3Я) = 16+3 = 19;
(х+уЯ)( х-уЯ) = х+у;
(3/4+2/5Я)(3/4-2/5Я) = 9/16+4/25 = 289/400.
Читаючи рівність (a + bЯ)( a - bЯ) = aІ + bІ справа наліво, робимо висновок, що сумму квадратів будь – яких двох чисел можна подати у вигляді добутку комплексно – спряжених множників.
Приклади: Розкласти на множники двочлени.
а+9 = (а+3Я)(а-3Я);
16mІ+25nІ = (4m+5nЯ)(4m-5nЯ);
49+36 = (7+6Я)(7-6Я);
а+16 = (а+4Я)( а-4Я);
в+7 = (в+7Я)( в-7Я).
г) Ділення комплексних чисел.
Ділення комплексних чисел означають як дію, обернену до дії множення, коли за даним добутком і одним з множників знаходять другий, невідомий множник. Причому в множині комплексних чисел залишається вимога, щоб дільник був відмінним від нуля.
Означення. Часткою комплексних чисел z? = a + bЯ та z? = c + dЯ називеється таке комплексне число z?= x+yЯ, яке при множенні на z? дає z?.
Можливість ділення комплексних чисел і його однозначність потребує доведення.
Доведемо, що частка комплексних чисел z? = a + bЯ та z? = c + dЯ визначена і до того ж однозначно, якщо c + dЯ? 0+0Я. Отже, доведемо, що за умови існує, і до того ж єдине, комплексне число z?= x+yЯ, яке при множенні на z? дає z?. За означенням дії ділення, (c + dЯ)( x+yЯ) = a + bЯ. Виконавши в лівій частині цієї рівності дію множення, дістанемо: (c x - dy) + (cy +d x)Я = a + bЯ.
З умови рівності двох комплексних чисел випливає:
c x - dy= a
cy +d x=b
Система має єдиний розв’язок:
x= (a c