y = (bc- ad)\( cІ+dІ).

Із доведення випливає, що ділення ккомплексних чисел відбувається за таким правилом:

(a + bЯ)\( c + dЯ) = (a c +bd)\( cІ+dІ) + (bc- ad)Я\( cІ+dІ).

Цей результат можна дістати, помноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Покажемо це:

(a + bЯ)\( c + dЯ) = (a + bЯ)( c - dЯ)\( c + dЯ)( c - dЯ) = ((a c +bd) + (bc- ad)Я )\( cІ+dІ) = (a c +bd)\( cІ+dІ ) + ((bc- ad)Я)\( cІ+dІ).

Цим принципом користуються під час розв’язування вправ на ділення комплексних чисел.

Приклади. Знайти частку комплексних чисел.

а) (2+5Я)/(3-2Я) = (2+5Я)(3+2Я)/(3-2Я)(3+2Я) = (-4+19Я)/13 = -4/13+19Я/13;

б) (3+Я)/Я = (3+Я)(-Я)/Я = 1-3Я;

д) піднесення комплексних чисел до степеня.

За означенням, Я№ = Я, ЯІ= - 1.

Користуючись рівністю ЯІ= - 1, визначеко кілька послідовних ступенів уявної одиниці:

Яі =ЯІЯ= - 1Я= -Я; Я = ЯіЯ = -ЯЯ= 1; Я=ЯЯ=Я; Я=ЯЯ=-1; Я=ЯЯ=-Я; Я=-ЯЯ=1.

Оскільки Я=1, то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на 4. Так, ЯІ= Я =-1, Яі=Я =-Я, Я =Я = 1і так далі.

Означення. Щоб піднести число до степеня з натуральним показником n, треба показник сепеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Приклади. Піднести до степеня:

а) Я = Я =Я = ЯЯ =-Я ;

б) Я = Я = Я = ЯІ= -1;

в) Я =Я = Я = -Я.

Правила піднесення до степеня уявної одиниці застосовується при піднесенні до степеня комплексних чисел.

Приклади. Піднести до степеня двочлени:

Рівності(1+Я)І = 1+2Я + ЯІ= 2Я, (1-Я) І = 1-2Я + ЯІ= -2Я корисно запам’ятати, бо їх часто використовують.

3. Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Вивчаючи комплексні числа, можна використовувати геометричну термінологію і геометричні міркування, яякщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числу a + bЯ поставимо у відповідність точку М(a;b) координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявной частини. Кожній точці М(a;b) координатної площини поставимо у відповідність комплексне число (малюнок 1).

Малюнок 1

Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вібрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам a + 0Я, тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називають уявною віссю – на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам 0+ bЯ.

Зручною є також інтерпритація комплексного числа як вектора ОМ (дивіться малюнок 2)

Малюнок 2

Поставимо у відповідність кожному комплексному числу вектор з початком у точці О(0;0) і кінцем у точці М(a;b). Ви знаєте, що такий вектор називають радіус – вектором, а його проекції на осі є координатами вектора. Отже, можна сказати, що геометрични зображенням комплексного числа z = a + bЯ є радіус – вектор з координатами a і b. Відповідність між множиною комплексних чисел, з одного боку, і множиною точок або векторів площини, з іншого, дає змогу комплексні числа називати векторами аьо точками і говорити, наприклад, про вектор a + bЯ або про точку a + bЯ.

На малюнку 2 вектори ОА, OB, OC, OD є відповідними геометричними зображеннями комплексних чисел z?= 2+2Я; z ?= -3+4Я; z ?= -4-3Я; z ?= 4-2Я.

Протилежним комплексним числам відповідають протилежні вектори.

Малюнок 3

На малюнку 3 зображено дві пари протилежних векторів OA i OC, OB i OD, що відповідають парам протилежних чисел 3+4Я та –3-4Я; -2+3Я та 2-3Я.

Геометричне зображення суми і різниці двох комплексних чисел.

З геометричної інтерпретації комплексних чисел у вигляді векторів випливає можливість геометричного зображення додавання комплексних чисел. Воно знаходиться до знаходження сум двох векторів за відомим правилом паралелограма.

Нехай дано два комплексних числа z? = a? + b?Я та z? = a? + b?Я, яким відповідають радіус – вектори ОА і ОА (малюнок 4). Побудуємо на цих векторах як на сторонах

Малюнок 4

паралелограм. Тоді зображенням суми комплексних чисел z? і z? буде вектор ОВ (діагональ паралелограма) справді, при додаванні векторів їх відповідні координати додають. Тому, якщо вектор ОА? має координати (a?;b?), а вектор ОА? (а?;b?), то їх сума – вектор ОВ – матике координати (а?+а?;b?+b?). Вектор ОВ відповідає комплексному числу (а?+а?) + (b?+b?), яке є сумою чисел z? і z?.

Нехай, наприклад, треба знайти геометричне зображення різниці z? - z? комплексних чисел z? = 2+3Я та z? = -3+2Я. Будуємо вектор ОА, що є зображенням числа z?, і додаємо до нього вектор ОВ, який зображує число z? = -3+2Я, протилежне від’ємнику (малюнок 5). Шукану різницю зображують вектором ОС, що є сумою векторів ОА і ОВ. Йому відповідає комплексне число 5+Я.

Малюнок 5

4. Тригонометрична форма запису комплексних чисел.

Запис числа z у вигляді a + bЯ називається алгебраїчною формою запису комплексного числа. Крім алгебраїчної форми використовують й інші форми запису комплексних чисел – тригонометрична