а) Модуль комплексного числа.

Побудуємо радіус – вектор ОА, що є геометричним образом комплексного числа z = a + bЯ (малюнок 6).

Модулем комплексного числа z = a + bЯ називається значення aІ + bІ. Число r = aІ + bІ перетворюється на нуль тільки за умов a =0, b =0.

Модуль комплексного числа a + bЯ позначається символом a + bЯ. Отже, a + bЯ = aІ + bІ.

Якщо комплексні числа мають один і той самий модуль, то кінці векторів, які зображують ці числа, лежать на колі з центром у початку координат і радіусом, що дорівнює їх модулю.

Приклади: знайти модулі даних комплексних чисел.

Б) аргумент комплесного числа.

Нехай радіус – вектор ОА зображує комплексне число z = a + bЯ (дивіться малюнок 6). Позначимо б кут, який утворює вектор ОА з додатним напрямом осі х. Числове значення кута б, виміряного в радіанах, називається аргументом комплексного числа a + bЯ. Якщо комплексне число дорівнює нулю, то вектор ОА перетворюється в точку (нуль – вектор), і говорити про його напрям немає сенсу. Тому вважають, що число нуль не має аргументу. Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну множину значень аргументу, які відрізняються один від одного на ціле число повних обертів, тобто на величину 2рn, де n – довільне ціле число. Значення аргументу, взяте в межах першого кола, тобто від 0 до 2р, називається головним. Головне значення аргументу комплексного числа можна визначити з рівності tg б = b/a. Справді, за знаками a i b можна встановити, в якій четверті міститься кут б, і за величиною tg б, використовуючи таблиці, знайти величину кута б.

Приклади: знайти головне значення аргументу даних комплексних чисел.

Маємо: tg б = 1. Оскільки a = 1 та b = 1, радіус – вектор, який відповідає даному комплексному числу, належить І чверті і тому б - гострий кут. Отже, = р/4.

Маємо: tg б = 23/(-2) = -3. Тут а = -2, b = 23, тобто радіус – вектор, який відповідає даному комплексному числу, належить ІІ чверті. Отже, б = р 2/3.

Маємо: tg б = 1. Радіус – вектор, що відровідає даному комплексному числу, належить ІІІ чверті. Отже, б = р 5/4.

Маємо: tg б = -3. Тут а = 1, b = -3. Радіус – вектор, що відповідає даному комплексному числу, належить IV чверті. Отже, = р 5/3.

в) тригонометрична форма комплексного числа.

Нехай вектор ОА є геометричним зображенням комплексного числа z = a + bЯ (дивіться малюнок 7), модуль якого дорівнює r, а аргумент б. У прямокутному трикутнику АОС а = r cos б, d = r sin б. Підставляючи у запис комплексного числа замість а та d їхні значення, виражені через модуль і аргумент, дістанемо :

Z = r cos б + Яr sin бЯ = r(cos б + Яsin б).

Вираз r(cos б + sin бЯ) називається тригонометричною формою комплексного числа. Будь – яке число a + bЯ, дане в алгебраїчній формі, можна подати в тригонометричній формі. Модуль r знаходимо за формулою r = aІ + bІ, а кут б визначаємо із залежності tg б =b\a, яка випливає з формул cos б = a\r, sin б = b\r.

Приклади:

а) z = -1-3Я;

Маємо: r = (-1)І+(- 3)І = 2; tg б = 3; б = 4р\3 + рn, n є Z.

Через те, що радіус – вектор, який зображує число z = a + bЯ, розміщений у ІІІ чверті комплексної площини, то за аргумент беремо б = 4р\3 + рn. Отже, -1-3Я = 2(соs 4р\3 + Я Sin 4р\3).

б) z = Я;

Тут а = 0, b = 1, отже, r = 1. Вектор, що зображує число Я, утворює з віссю абсцисс кут р\2 (поясніть чому). Отже, Я = cos р\2 + Я sin р\2.

в) z = 3.

Тут а = 3, b = 0, отже, r = 3.

3 = 3(cos 0 + Я sin 0).

Розглянемо приклади переходи від тригонометричної форми комплексного числа до алгебраїчної.

Приклади:

а) 2(cos р\3+ Я sin р\3) = 2(1\2+3Я \2) = 1 +3Я;

б) 4(cos 2р\3 + Я sin 2р\3) = 4(-1\2+3Я \2) = -2 + 23Я.

г) Множення і ділення комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі.

Тригонометрична форма запису комплексних чисел виявляється дуже зручною під час множення і ділення чисел. Нехай Z?=r?(cos б? + Я sin б?), Z?=r?(cos б? + Я sin б?) – два числа, що записані в тригонометричній формі. Тоді

Z? Z?= r?r?( cos б? cos б? - sin б? sin б? + Я sin б?cos б? + Я sin б? cos б?), або Z? Z?= r?r?( cos (б? + б?) + Я sin (б? + б?)). Отже, справедливим є твердження: під час множення комплексних чисел у тригонометричній формі модулі їх перемножуються, а аргументи додаються. Для знаходження частки множимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:

Z?\Z?=r?(cos б? + Я sin б?)(cos б? - Я sin б?)\ r?(cos б? + Я sin б?)(cos б? -