Отже, під час ділення комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаюьтся.

Приклади. Виконати множення і ділення комплексних чисел, записаних у тригонометричній формі.

а) Z?=3(cos 7° + Я sin 7°); Z?=8(cos 15° + Я sin 15°);

д) Подаємо без доведення правила піднесення до степеня комплексного числа, записаного в тригонометричній формі.

При будь – якому натуральному n

(cos б + Я sin б)? = cos nб + Я sin nб.

Це твердження називається формулою Муавра.

Приклади. Виконати дії піднесення до ступеня даного комплексного числа.

Z=3-Я. Обчислити Z.

Модуль даного числа дорівнює (3)І+1 = 2, аргумент б = -р\6, отже модуль числа Z дорівнює 2, аргумент 9б = -9р\6 = -3р\2. Таким чином,

(3-Я) = 2 (cos (-3р\2)+ Я sin(-3р\2)) = 512Я.

є) добування кореня з комплексного числа.

Корінь n – го ступеня з числа Z=r(cos б + Я sin б) обчислюють за формулою

щ = r(cos ((б + 2 рк)\n) + Я sin ((б + 2 рк)\n)),

де к – деяке ціле число (к є Z).

Підставляючи замість к значення 0, 1, 2…n – 1, дістанемо n різних значень кореня. Так, якщо n = 2, к = 2 матимемо sin ((б + 4 р) = sin б\2 і так далі.

Приклади. Знайти всі значення 1

Оскільки 1 = 1(cos 0 + Я sin 0), то

1(cos 0 + Я sin 0) = 1(cos ((0 + 2 рк)\5) + Я sin ((0 + 2 рк)\5), к = 0, 1, 2, 3, 4. Надаючи к послыдовно значень 0, 1, 2, 3, 4, выдповыдно дыстанемо:

Z?= 1, якщо к = 0;

Z?= cos 2р\5 + Я sin 2р\5, якщо к = 1;

Z?= cos 4р\5 + Я sin 4р\5, якщо к = 2;

Z?= cos 6р\5 + Я sin 6р\5, якщо к = 3;

Z?= cos 8р\5 + Я sin 8р\5, якщо к = 4.

Цікавий такий факт. Модулі всіх цих значень 1 дорівнюють 1. Отже, точки Z?, Z?, Z?, Z?, Z? лежать на колі радіуса 1 з центром у початку координат. Побудувавши аргументи значень Z?, Z?, Z?, Z?, Z? , помітимо, що точки, які зображують числа Z?, Z?, Z?, Z?, Z?, є вершинами правильного п’ятикутника (малюнок 7).

Взагалі точки, які відповідають значенням кореня n – го ступеня з комплексного числа Z=r(cos б + Я sin б), розміщуються у вершинах правильного n – кутника з центром у точці О.

Малюнок 7