Вступ

Однією із задач, які розвязує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції. Ця задача може постати, наприклад, у випадку, коли або функція задана своїми значеннями у вигляді таблиці результатів експерименту, або коли функція має складну аналітичну будову і знаходження її значення у деяких точках викликає обчислювальні труднощі. Так, зокрема, всі широко вживані на практиці функції sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), ch(x), sh(x) та багато інших визначаються при обчисленнях на ЕОМ за допомогою функціональних рядів або ланцюгових дробів.

В останні роки різко зріс інтерес до класичних методів раціональної апроксимації функцій. Це повязано з тим, що такі апроксимації знайшли різноманітне застосування в обчислювальних задачах теоретичної фізики та механіки. Потрібно відмітити також, що останнім часом ми стаємо свідками позитивної тенденції, згідно якої сучасні математичні дослідження все більше і більше ініціюються найбільш передовими фізичними теоріями та прикладними обчислювальними задачами, серед яких і спроби обєднати слабкі, електромагнітні, сильні та гравітаційні взаємодії у фізиці і проблеми ефективної компресії аудіо-візуальної інформації на підставі аналізу спектра сигналу в обчислювальній математиці та ще багато інших не менш цікавих задач.

В даній науково-дослідній роботі зроблена спроба аналізу одного з прикладних методів апроксимації функції – метода Течера-Тьюкі на предмет його придатності до використання в обчислювальних задачах та наявність переваг перед іншими методами.

1. Постановка задачі інтерполяції функції

Нехай дійсна функція f(x) неперервна на проміжку [a,b] та визначена своїми значеннями в точках множини

Х={x0, x1, … , xn}, де Х [a,b].

Потрібно знайти значення функції в точці х, яка відмінна від заданих. Виходячи з деяких додаткових міркувань, наближаючу функцію будемо шукати у вигляді

f(x) g(x, ) , де – деякі параметри.

Означення 1. Якщо параметри визначаються з умови рівності значень

, i = 0,1,…,n

то точки називаються вузлами інтерполяції, а такий спосіб наближення функції називається інтерполяцією або інтерполюванням.

Означення 2. У випадку, коли апроксимуючу функцію вибирають у вигляді лінійної комбінації функцій із заданої сукупності, тобто

(1)

то говорять про лінійну інтерполяцію, а функцію називають узагальненим інтерполяційним многочленом.

Означення 3. Якщо апроксимуюча функція не може бути подана у вигляді (1), то таке наближення називається нелінійною інтерполяцією.

Означення 4. Величина

називається залишковим членом узагальненого інтерполяційного многочлена.

Надалі будемо вважати, що та , коли ij, тобто розглядається така задача інтерполяції, коли всі вузли різні.

Виберемо в – просторі неперервних на функцій, скінчену або злічену сукупність функцій , таких, що довільна скінчена система їх є лінійно незалежною. На практиці найчастіше використовують такі системи функцій:

, , , де – деяка числова послідовність.

Коефіцієнти в (1) визначимо з умови, що наближуючий агрегат збігається у вузлах інтерполяції із значенням функції, тобто

, i=0,1,…,n (2)

З (1) та (2) випливає, що для знаходження коефіцієнтів отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

і якщо

то при довільних значеннях , i=0,1,…,n система має єдиний розвязок

, (3)

де

(4)

формується з за правилом Крамера.

Означення 5. Система функцій , i=0,1,…,n називається системою Чебишова порядка n, якщо узагальнений многочлен

,

який має більше ніж n коренів на , тотожньо рівний нулеві, тобто для всіх і=0,1,…,n.

Теорема 1. Для того, щоб для довільної функції існував узагальнений інтерполяційний многочлен для будь-якого набору вузлів , і=0,1,…,n, необхідно і досить, щоб була системою функцій Чебишова на . При виконанні цих умов узагальнений інтерполяційний многочлен буде єдиним.

Відомо, що всі три вище наведені сукупності функцій є системами функцій Чебишова на довільному .

Якщо визначник (4) розвити за і-м стовпчиком, то (3) перепишеться у вигляді

де , i,k=0,1,…,n – відповідні алгебраїчні доповнення, і тоді

Якщо згрупувати подібні члени при однакових значеннях, то отримаємо

(5)

Зауваження 1. Функції не залежать від , є лінійними комбінаціями та повністю визначаються через них та вузли інтерполяції

З (2) випливає, що

(6)

2. Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа

За візьмемо систему функцій {1,x,x2,…, xn,…}. На довільному відрізку при фіксованому n функції 1,x,x2,…, xn є лінійно незалежні і визначник є визначником Вандермонда. А так як за припущенням xi xj, то

Із (5) та (6) випливає, що - многочлен n-го степеня, який перетворюється в нуль в точках в x0, x1,…, xi-1, xi+1,…, xn і рівний 1 в точці x0, тобто

і

.

Звідки маємо:

Підставивши значення Фі(х) в (5) отримаємо інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа

Отримаємо тепер формулу для залишкового члена інтерполяційного многочлена у виді Лагранжа.

Теорема 2. Нехай f(x) C(n) [a,b] і існує f(n+1) (x). Тоді для довільного х [,] має місце наступна форма залишкового члена

(7)

де

Зауваження 2. З формули залишкового члена (7) випливає, що інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа є точним для многочленів степеня n.

3. Вимоги до обчислювальних алгоритмів

Наведені вище формули, що визначають N-точкову апроксимацію, громіздкі і мало придатні для розвязування обчислювальних задач. Визначимо коротко ті вимоги, котрі ставляться перед обчислювальним алгоритмом. Чисельні алгоритми для раціональних апроксимацій можна поділити на ті, за допомогою яких розвязують проблему коефіцієнтів і ті, за допомогою яких розвязують проблему значень. Проблема коефіцієнтів полягає у визначенні значень коефіцієнтів на підставі яких формується інтерполяційна функція. Проблема значень