З часом знання людства в галузі геометрії розширювалися й удосконалювалися, але не вгасав науковий і практичний інтерес до найпростіших геометричних фігур, зокрема до трикутника – плоскої фігури, утвореної з'єднанням трьох точок прямими лініями. Усім відомі рівносторонні, рівнобедрені, тупо- і гострокутні трикутники, прямокутні трикутники, що широко використовуються для рішення простих задач повсякденного життя (побудови інших плоских і просторових фігур, обчислень площ, об’ємів і т.д.). Менш відомі деякі інші види трикутників, наприклад:

- педальний трикутник – трикутник, вершини якого є основами перпендикулярів, опущених з довільної точки Р, що знаходиться у середині трикутника АВС на сторони трикутника АВС;

- ортоцентральний трикутник – окремий випадок педального трикутника, при якому довільна точка Р є точкою перетину висот трикутника АВС;

- серединний трикутник (щодо трикутника АВС) – трикутник, побудований шляхом з'єднання середин сторін даного трикутника АВС;

- різницевий трикутник – трикутник, довжини сторін якого складають арифметичну прогресію;

- бісектральний трикутник – трикутник, вершинами якого є точки перетину бісектрис даного трикутника АВС із протилежними сторонами.

З розвитком науки про трикутники в побут учених (та й не тільки їх) увійшли характерні назви деяких точок і ліній трикутника: чевіана – відрізок, що з'єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні; висота – чевіана, опущена під прямим кутом на протилежну сторону трикутника; бісектриса – чевіана, що поділяє навпіл кут при даній вершині, з якої вона опущена; медіана – чевіана, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони; центр кола, описаного навколо трикутника, точка перетину трьох перпендикулярів, що поділяють навпіл сторони трикутника; центр кола, вписаного в трикутник, точка перетину бісектрис трикутника; ортоцентр трикутника АВС – центр кола, вписаного в ортоцентричний трикутник відносно трикутника АВС; центроїд – точка, що поділяє відстань від ортоцентра до центра описаного навколо трикутника кола у відношенні 2:1; пряма Ейлера – пряма, що з'єднує ортоцентр, центроїд і центр описаного навколо трикутника кола; коло дев'яти точок (коло Ейлера) – коло, на якому лежали основи трьох висот довільного трикутника, середини трьох його сторін і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром.

Геометрія вивчає як і об’ємні фігури, так і плоскі. До плоских належать: коло, чотирикутник, квадрат, прямокутник, ромб, паралелограм, многокутник, трикутник,…

Трикутник-це найпростіша фігура: три сторони і три вершини. Математики його іменують двовимірним симплексом. „Симплекс” латиною означає найпростіший. Тривимірним симплексом називають трикутну піраміду. Саме через свою простоту трикутник став основою вимірювань.

За 2000 років в Давній Греції вивчення властивостей трикутника ведеться вельми активно. Піфагор відкриває свою теорему. Герон Олександрійський знаходить формулу, що виражає площу трикутника через його сторони; стає відомим, що бісектриси, як медіани та висоти, перетинаються в одній точці.

Особливо активно властивості трикутника досліджувалися в XV-XVI століттях. Ось одна з найкрасивіших теорем того часу, що належить Леонардові Ейлеру: „Середини сторін трикутника, основи його висот і середини відрізків висот від вершини до точки їх перетину лежать на одному колі”. Це коло дістало назву „кола дев’яти точок”. Його центр виявився в середині відрізка, який з’єднує точку перетину висот з центром описаного кола.

Як відомо, імператор Франції Наполеон вільний час присвячував заняттям математикою. Йому приписують таку красиву теорему: „Якщо на сторонах трикутника в зовнішній бік побудувати рівносторонні трикутники, то їхні

центри будуть вершинами рівностороннього трикутника”. Цей трикутник називається зовнішнім трикутником Наполеона. Аналогічно будується і внутрішній трикутник Наполеона.

Сила-силенна робіт з геометрії трикутника, проведених у XV-XIX ст., створила враження, що про трикутник уже відомо все. Тим дивовижнішим було відкриття, зроблене американським математиком Ф.Морлі. Він довів, що коли в трикутнику провести через вершини промені, які поділяють кути на три однакові частини, то точки перетину суміжних трисектрис кутів є вершинами рівностороннього трикутника.

Трикутник-це многокутник, у якого n=3 (з трьома кутами і трьома сторонами). Сторони і кути трикутника вважаються основними елементами трикутника. У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, а проти меншого-менша.

Трикутник повністю визначається будь-якою з таких трійок своїх основних елементів: або трьома сторонами, або однією стороною і двома кутами, або двома сторонами і кутом між ними. Тобто це є ознаки рівності трикутників.

Також для існування трикутника, заданого трьома сторонами a, b, c необхідно і достатньо, щоб виконувалися нерівності, які називаються нерівностями трикутника:

a + b > c, a + c > b, d +c > a.

А для існування трикутника, заданого стороною a і кутами , необхідно і достатньо щоб виконувалася нерівність

???<180,

для існування трикутника, заданого сторонами a і b і кутом ? , необхідно і достатньо щоб виконувалася нерівність

?<180.

Співвідношення між сторонами і кутами у трикутника:

1)Проти більшої сторони лежить більший кут.

2)Проти більшого кута лежить більша сторона.

3)Проти рівних сторін лежать рівні кути, і, навпаки, проти рівних кутів лежать рівні сторони.

Співвідношення між внутрішніми і зовнішніми кутами трикутника:

Сума двох будь-яких внутрішніх кутів трикутника дорівнює зовнішньому куту трикутника, суміжного з третім кутом.

Також трикутники бувають прямокутними, тупокутними, гострокутними.

Прямокутний-той, в якого один з кутів