Тупокутним трикутником називається той, що має тупий кут (>90).

Гострокутний — той, що має три гострі кути (<90).

Медіана трикутника.

Медіаною трикутника називається відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Медіани перетинаються в одній точці, що лежить всередині трикутника.

Основні властивості медіани трикутника:

1) Медіани трикутника точкою їхнього перетину діляться, як 2:1 (рахуючи від вершини трикутника).

2) Медіани ділять трикутник на два рівновеликі трикутники. (Два трикутники рівновеликі, якщо їхні площі рівні).

3) Три медіани трикутника ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників.

Медіана трикутника m, проведена до сторони a, визначається через сторони трикутника формулою:

m2 = (2b2 +2c2 –a2)/4;

Медіана прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи.

Висота трикутника.

Висота-це відрізок, який сполучає вершину трикутника з протилежною до вершини стороною, утворюючи при цьому прямий кут (це серединний перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну їй сторону).

Висота трикутника h визначається через сторони за формулою:

h2 = (4*(p*(p – a)*(p – b)*(p - c)))/ a, де p = (1/2)*(a + b + c).

В тупокутному трикутнику дві висоти перетинають продовження сторін і лежать поза трикутником, а третя сторона перетинає сторону трикутника. Щодо гострокутного трикутника, то в ньому усі три висоти лежать всередині трикутника. У прямокутному ж трикутнику катети є одночасно й висотами. Три прямі, що містять різні висоти трикутника, завжди перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. В тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза трикутником, в гострокутному-всередині, а в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута. Внаслідок цього – центр описаного кола навколо тупокутного трикутника лежить поза ним, у гострокутному трикутнику-всередині нього. Це означає, що центр кола, описаного навколо трикутника є точкою перетину його висот, а точніше - ортоцентром. Що ж до вписаного кола в трикутник. То його центр лежить на перетині бісектрис трикутника.

Бісектриса трикутника.

Бісектриса-це це промінь, який ділить кут навпіл. Бісектриса трикутника-це відрізок, який сполучає вершину кута з протилежною йому стороною, при цьому ділить кут при вершині навпіл. Бісектриси в трикутнику перетинаються в одній точці.

Властивості бісектриси кута трикутника:

1)Бісектриса ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим до неї сторонам – бічним сторонам.

2) Бісектриса трикутника ділить площу трикутника у співвідношенні, пропорційному прилеглим сторонам.

3)Квадрат бісектриси кута при вершині трикутника рівний різниці між добутком.

Середня лінія трикутника.

Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох сторін трикутника.

Властивості середньою лінії трикутника:

1) Пряма, на якій міститься середня лінія трикутника, паралельна прямій, яка містить третю сторону трикутника.

Властивості бісектриси кута трикутника:

2) Середня лінія трикутника дорівнює половині третьої сторони, паралельної до неї.

3) Середня лінія трикутника відтинає від трикутника подібний трикутник. Площа відрізаного трикутника відноситься до площі основного трикутника у співвідношенні 1:4.

Ще трикутники, в залежності від своїх кутів чи сторін, поділяються на правильні (рівносторонні), рівнобедрені, прямокутні. Рівнобедрений трикутник – такий, у якого дві сторони рівні. У рівнобедреному трикутнику звичайно за основу беруть сторону, яка не дорівнює жодній з інших сторін.

Властивості рівнобедреного трикутника:

1) У рівнобедреному трикутнику кути при основі трикутника рівні.

2) Висота, проведена з вершини, є також бісектрисою і медіаною.

Що ж до рівностороннього (правильного) трикутника – це трикутник, у якого всі сторони рівні.

Властивості рівностороннього трикутника:

1) Усі кути рівні (кожен дорівнює 60).

2) Кожна з трьох висот є також бісектрисою і медіаною.

3) Цент кола, описаного навколо трикутника, збігається з центром кола, вписаного в нього.

Ще правильний трикутник, має всі властивості правильного многокутника.

Прямокутний трикутник – це трикутник, один з кутів якого прямий (90).

Сторона прямокутного трикутника, яка лежить проти прямого кута називається гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами. Прямокутний трикутник, який має рівні катети, називається рівнобедреним прямокутним трикутником. В такому трикутнику гострі кути рівні ( кожен з них дорівнює 45 ).

Властивості прямокутного трикутника

1) Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу.

2) Висота, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.

3) Центр кола , описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи.

Піфагор. Його теорема. Піфагорійці.

Прямокутний трикутник особливий, для нього винайдено особливу теорему – Піфагора.

В VI столітті до нашої ери осередком грецької науки та мистецтва стала Іонія - група островів Егейського моря, які знаходяться біля берегів Малої Азії. Там у сім’ї золотих справ майстра Мнесарха народився син. За легендою, в Дельтах, куди приїхали Мнесарх з дружиною Парфенісою,- чи по справам, чи у весільну подорож - оракул пророчив їм народження сина, який буде славитися віками своєю мудрістю, справами та красою. Бог Аполлон, вустами оракла, радить їм плити в Сірію. Пророцтво збувається - в Сидоні Парфеніса народила хлопчика. І тоді за давньою традицією Парфеніса приймає ім’я Піфіада, на честь Аполлона Піфійського, а сина називає Піфагором, на честь пророцтва піфії.

У легенді нічого не сказано про рік народження Піфагора; історичні дослідження датують його появу на світ приблизно 580 роком до нашої ери. Повернувшись із подорожі, щасливий батько будує церкву Аполлону та оточує молодого Піфагора піклуваннями, які могли б сприяти виповненню пророцтва Аполлона.

Можливості дати сину гарну освіту та виховання у Мнесарха були. Як і будь-який батько, Мнесарх мріяв, що син буде продовжувати його справу - ремесло золотих справ майстра. Життя вирішило інакше. Майбутній математик та філософ вже в дитинстві виявив велику здатність до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса Піфагор отримує знання основ музики та живопису. Для покращення пам’яті Гермодамас примушував його вивчати пісні