Піфагорійці створили першу математичну теорію музики. У якості символу піфагорійці вибрали п’ятипалу зірку, хоч сам Піфагор казав, що з усіх фігур найкраще - коло, а з тіл - куля. У той же час серед геометричних теорем піфагорійців немає теореми про коло. Вони займалися в основному багатокутниками. Наприклад, вони вміли будувати багатокутник, подібний одному з двох заданих багатокутників і одночасно рівний іншому.

Багато зробив вчений і для геометрії. Доведена Піфагором знаменита теорема носить його ім’я. Достатньо ґрунтовно дослідив Піфагор і математичні відношення, закладаючи тим самим основи теорії пропорцій. Особливу увагу він приділяв числам та їх властивостям, пориваючись зрозуміти значення та природу речей. Посередництвом чисел він намагався навіть зрозуміти такі вічні категорії буття, як справедливість, смерть, постійність, чоловік, жінка та інше.

Піфагорійці вважали, що всі тіла складаються з найменших частинок – „одиниць буття”, які в різних сполученнях відповідають різним геометричним фігурам. Число для Піфагора було і матерією, у формою всього світу. З цього уявлення виходила і основна теза піфагорійців: „Усі речі - сутність числа”. Але оскільки числа показували „сутність” усього, той пояснювати природні явища слідувало лише з їхньою допомогою. Піфагор з його наслідувачами своїми працями заклали основу однієї дуже важливої області математики - теорії чисел.

Не чужою була піфагорійцям геометрична інтерпритація чисел. Вони вважали, що точка має два виміри, лінія - два, площина - три, об’єм - чотири виміри. При додаванні всіх плоских геометричних фігур - точки, лінії і площини - піфагорійці отримували ідеальну шістку.

Числам надавали містичних властивостей. Одні числа приносять добро, другі - зло, треті - успіх і т.д. Піфагор вважав, що душа - теж число, вона безсмертна і передається від однієї людини до іншої. Числова містика Піфагора та його учнів нанесла великої шкоди розвитку математики. Сучасна церква признає числову містику. Так, у Біблії число 666 є число звіру, 12 несе щастя, 13- нещастя. Піфагор вважав, що число 5 символізує колір, 6 - холод, 7 - розум, здоров’я та світло, 8 - кохання та дружбу, 9 - постійність. Особливо ненависними піфагорійцям були числа 13 та 17.

Спробу Піфагора та його школи зв’язати реальний світ з числовими відношеннями не можна вважати невдалою, оскільки в процесі вивчення природи піфагорійці поряд з фантастичними уявленнями висунули і раціональні способи пізнання таємниць Всесвіту. Зведення астрономії і музики до числа дало можливість пізнішим вченим зрозуміти світ ще глибше.

...Пройшло 20 років після створення школи. Слава про неї рознеслася по всьому світу. Одного разу до Піфагора прийшов Кілон, людина багата, але зла, бажаючи в нетверезому стані вступити до школи. Піфагор відмовив і тоді Кілон розпочав боротьбу з Піфагором, скориставшись підпалом його будинку. Під час пожежі піфагорійці врятували життя своєму вчителю ціною своєї, після чого Піфагор засумував і невдовзі закінчив життя самогубством.

У новий час, особливо завдяки великому розвитку природознавства, астрономії та математики, ідеї Піфагора про світову гармонію набувають нових прихильників. Знамениті Коперник та Кеплер, відомий художник та геометр Дюрер, геніальний Леонардо да Вінчі, англійський астроном Еддінгтон та багато інших вчених і філософів продовжують знаходити в науково-філософському наслідництві Піфагора необхідну основу для встановлення закономірності нашого світу.

Мабуть, найпопулярнішою з усіх теорем є теорема Піфагора. Причинами такої популярності є простота, краса, значення. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечностей і надає їй особливої привабливості. Окрім цього, теорема Піфагора має велике значення: вона використовується на кожному кроці, той факт, що існує близько 500 різних доказів цієї теореми доводить велику кількість її реальних реалізацій.

Теорема Піфагора – найважливіше твердження геометрії. Теорема формулюється так: у прямокутних трикутниках квадрат, накреслений на стороні, яка лежить проти прямого кута, дорівнює тим двом разом узятим квадратам, що накреслені на сторонах, які утворюють цей прямий кут.

Звичайно відкриття цього твердження приписують саме Піфагору (VI ст. до н. е.). Але відкриття теореми Піфагором оточене ореолом красивих легенд.

Прокл у своєму коментарі до „Начал” Евкліда пише щодо вислову про квадрат гіпотенузи, який дорівнює сумі квадратів катетів: „Якщо слухати тих, хто любить повторювати давні легенди, то доведеться сказати, що ця теорема належить Піфагору. Розповідають, ніби на честь цього відкриття він приніс у жертву бика”. Про те ж розповідає й інший грецький історик давнини - Плутарх (I ст.). На основі цих та інших переказів протягом тривалого часу вважали, що до Піфагора ця теорема не була відома, і назвали її тому „теоремою Піфагора”.

Німецький поет Альберт Шаліссо написав вірш про Піфагора, який в перекладі Наталіїї Терехової звучить:

Во мгле веков пред нашим взором

Блеснула истина. Она,

Как теорема Пифагора,

До наших дней еще верна

Найдя разгадку, мудрый старец

Был благодарен небесам;

Он сто быков велел зажарить

И в жертву принести богам.

С тех пор быки тревожно дышат,-

Они, кляня дары богов,

О новой истине услышав

Ужасный поднимают рев.

Их старца имя потрясает,

Их истины лучи слепят:

И, новой жертвы ожидая,

Быки, зажмурившись, дрожат.

І хоча ще Цицерон помітив, що будь-яке кровопролиття було проти закону піфагорійського ордену, легенда ця зрослася з теоремою Піфагора