Ця назва збереглася дотепер. Однак вже встановлено, що ця найважливіша теорема зустрічається у вавилонських текстах, написаних за 1200 років до Піфагора. Про те, що трикутник зі сторонами 3,4 і 5 є прямокутний, знали за 2000 років до н. е. єгиптяни, які користувалися цим відношенням для побудови прямих кутів при спорудженні будинків. У Китаї про квадрат гіпотенузи знали принаймні за 500 років до Піфагора. Ця теорема була відома в й у Стародавній Індії; про це свідчать твердження, що містяться в „Сутрах”.

1. Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів його більшої і меншої сторін.

2. Квадрат на діагоналі квадрата в два рази більший за квадрат.

Теоремою Піфагора займалось багато математиків протягом багатьох століть, і нині є понад 500 доведень цієї теореми.

Та коли йдеться про наочне ілюстрування теореми Піфагора, то можна застосувати зважування. Якщо вирізати з картону три квадрати, сторони яких дорівнювали б сторонам цього трикутника, і покласти два менших квадрати на одну шальку достатньо чутливих терезів, а на другу – третій, то терези будуть у рівновазі.

Теорема Піфагора була іноді темою вдалих учнівських жартів: її зображували у вигляді різних смішних фігурок, а в Росії малюнок до теореми Піфагора для випадку рівнобедреного трикутника учні назвали „піфагоровими штанами”, які на всі боки рівні. У Франції і Німеччині теорему Піфагора називали „ослячим мостом”.

Теорема: У прямокутних трикутниках квадрат, накреслений на стороні, яка лежить проти прямого кута, дорівнює тим двом разом узятим квадратам, що накреслені на сторонах, які утворюють цей прямий кут.

Хай у прямокутному трикутнику АВС кут ВАС буде прямий і на сторонах АВ, АС й ВС накреслені квадрати ABFG, АСНІ й BCDE. Стверджують, що квадрат BCDE дорівнює двом іншим квадратам разом.

Доведення. Спочатку проведемо пряму AK, паралельну до BE, що перетинає BC в точці L, і накреслимо лінії AD, AE, CF і ВН. Оскільки два кути — BAC й BAG — прямі, лінії AG й AC утворять одну пряму лінію. Так само IA й AB утворять одну пряму. Далі, через те що кути ABF і СВЕ рівні (адже вони прямі), то, якщо додамо обидва ці кути до АВС, утвориться кут CBF, що дорівнює кутові АВЕ;

також і кут ВСН дорівнюватиме кутові ACD. Отже, завдяки тому, що дві сторони АВ й ВЕ трикутника АВЕ дорівнюють двом сторонам BF і ВС трикутника FBC (кожна з сторін тих — кожному з цих), що випливає з визначення квадрата, то й кути, утворені цими сторонами — АВЕ й FBC, будуть рівні. Значить, як ми показали, трикутники АВЕ й FBC теж будуть рівні. Але квадрат або паралелограм ABFG вдвічі більший від трикутника FBC, бо вони розташовані на тій самій основі FB й між тими самими паралельними лініями FB й GC. Паралелограм BEKL з тієї самої причини також вдвічі більший від трикутника АВЕ, й тому паралелограм BEKL дорівнюватиме квадратові ABFG. Доводимо також, що й паралелограм CDKL дорівнює квадратові ACHG. І через це весь квадрат BCDE, що складається з паралелограмів BEKL і CDKL, дорівнюватиме двом разом узятим квадратам ABFG й АСНI, що й треба було довести.

Сьогодні теорема Піфагора виявлена у різних часткових задачах та кресленнях: і в єгипетському трикутнику в папірусі часів фараона Аменемхета першого (біля 2000р. до н. е.), і у вавилонських клинописних табличках епохи царя Хаммурапі (XVIII ст. до н. е.), і в давньоіндійському трактаті VII-V ст. до н. е. “Сульва сутра”. У найдавнішому китайському трактаті “Чжоу-бі суань цзинь” час створення якого точно не відомо, стверджується, що в XII ст. до н. е. Китайці знали властивості єгипетського трикутника, а до VI ст. до н. е.- й загальний вигляд теореми. Не дивлячись на це, ім’я Піфагора щільно злилося з теоремою Піфагора. Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор першим довів теорему, яка носить його ім’я. На жаль, його доказ не дійшов до нашого часу.

Трикутник Рьоло.

Цей криволінійний трикутник А1В1С1 названий на честь німецького математика та інженера Франца Рьоло, який найбільш повно вивчив його властивості. Побудувати трикутник Рьоло досить просто. З кожної вершини рівностороннього трикутника слід провести дугу кола, що з'єднує дві інші вершини. Отриманий криволінійний трикутник відноситься (поряд з колом) до так званих кривих постійної ширини: коли він котиться, верхні і нижні точки контуру переміщуються вздовж паралельних прямих. Але найбільш відома кінематична властивість трикутника Рьоло. Якщо обертати трикутник А1В1С1 навколо центра О1 описаного навколо нього кола з радіусом О1А1, а центр трикутника О1 обертати в протилежну сторону в три рази швидше по колу з центром N, то трикутник окреслить фігуру, що незначно відрізняється за формою від чотирикутника. Зокрема, за один оберт центра О1 направо по колу з радіусом О1N два кути чотирикутника будуть оформлені вершиною А трикутника Рьоло і по одному – вершинами В і С, тобто через кожну чверть оберту навколо центру N трикутник Рьоло буде знаходитися в положеннях А2В2С2, А3В3С3 і А4В4С4. Властивості трикутника Рьоло, які виявив Франц Рьоло, а потім і інші учені, широко використовуються у всіляких областях техніки. На відміну від математиків інженери і техніки надали трикутнику Рьоло власну назву – „рівновісний контур” чи скорочено - РК. Трикутник Рьоло – фігура сталої кривини, тобто нормаль між двома паралельними