1. Класичне, геометричне та аксіоматичне означення ймовірностей.

Нехай простір елементарних подій є скінченою множ., причому припускається, що всі елементарні події є рівноможливі. Елементарною подією наз. будь-який неподільний результат експерименту. Тобто

Озн. Ймовірністю події А наз. відношення к-ті всіх елементарних подій, які сприяють появі А до загальної к-ті всіх елементар. подій. Р(А)=, де m- к-ть елементар. подій, які сприяють А,n- загальна к-ть всіх елементар. подій.

Властивості:

N(A+B)=N(A)+N(В)(*). A={},B={}. Остання рівність(*)є символьним записом правила суми в комбінаториці. Поділимо останню р-ть на n-заг. к-ть всіх елементів.

Наслідки з 4-ї: 1) Якщо А1…Аn – попарно-несум-ні, то P(A1+..+An)=

2) Для будь-якої вип.-ї події А => P(A)+P()=1

Недоліки: 1.КОЙ застосовується до екс-ів, в яких к-ть елем-х подій є скінченною. 2.Всі елем-ні події за припущенням повинні бути рівноможливі, а це незав-ди так є.

Геометричне означення ймовірності. Для геометричного ОЙ припускаємо, що к–ть точок у деякій мн-ні простору Rn прямопроп-на до міри цієї множ. Нехай простір елем-х подій . Розглянемо довільну підмножину A в пр-рі елем-х подій яка є випадковою велич-ю. За припущеннями , C-коеф-т проп-ті, Р( )=1, С=

Нехай -простір елементар. подій .Розглянемо - випадкова подія. (будь –який результ. експерименту).Ймовірність того, що випадкова точка вибрана з простору елементар. подій належить множ А рівна відношенню міри множ А до міри Лебега простору елементар. подій.

Мірою Лебега на прямій(n=1)є довжина, на пл-ні(n=2)-площа, в пр-рі(n=3)- обєм.

П-ди:зад Бюффона(кидають голку),з літака скинули вантаж,впав між дор-ми зн-м?

3 Аксіоми теорії ймовірностей

Нехай –простір елем-х подій. Припустимо, що в виділена с-ма F підмн., яка є -алгеброю. Це означає, що 1) F

2) якщо A F, то = \ A F 3) якщо Aі F, ( і=1, 2, …), то .

Заув. FF, AB=

С-ма підмнож. F деякої множ наз. -алгеброю, якщо викон.вище написані в-ті.

Ймов-тю заданою на вимірному пр-рі () наз-ся числова ф-я Р, яка задана на -алгебрі F і яка зад-є: 1) ;

2) ;3) А1,...Аn.. ?

2. Формула повної ймовірності. Формула Баєса. Формула Бернуллі.

Нехай в деякому експ-ті дослід-ся подія А, яка може настати в рез-ті появи однієї з n подій Н1 , Н2 , …, Нn (Нi F, i = 1, 2, …, n), які утворюють повну групу(ПГ) попарно несум-х под, якщо:P(H1+..+Hn)=P(H1)+..+ P(Hn)=1 – ПГ попарно нес-х под.

За вище наведених умов ймовірність п.А може бути знайдена за фор-ю ПЙ:

.

ФПЙ містить стільки доданків, скільки є подій H1..Hn(це гіпотези).

Д: Оск-ки , то , причому всі доданки в правій частині є попарно-несумісні =>

Формула Байеса. Нехай деяка подія А може наступити тільки за умови появи однієї з гіпотез , які утвор. повну групу попарнонесумісних подій. Нехай відомо, щодосліджувана подія А вже відбулася, тоді для апостеріорної переоцінки ймовірності гіпотез викоритс.

Дов З наслідку теореми множення імовірностей маємо . Запишемо цю теорему для двох подій Очевидно отримаємо: Підставимо замість P(A) формулу ПЙ.

Схема Бернуллі:Нехай деякий експеримент проводять n раз, у кожному з проведених експериментів досліджується одна і таж подія, імовірність якої незмінна. Появу події А ми називаємо успіхом, не появу невдачею. Поява успіху чи невдачі ніяким чином не залежить від кількості появ успіху і невдач у попередніх проведених експериментах, тобто експерименти незалежні. Така схема наз схемою Бернуллі

Формула Бернуллі:

де k – це число появ успіху імовірність якого ми знаходимо, n – кількість незалежних випробувань, р- імов появ успіху, q=1-p – імов-ть невдачі

дов. Припустимо, що проведено n незалежних випробувань, при чому успіх наступить перших k разів, а невдача наступні n-k. А – успіх .

За теоремою множення незалежних подій маємо:

Для того щоб врахувати всі можливі комбінації появи успіху k ураз у n випробуваннях останню формулу треба помножити

- біноміальний розподіл, володіє Влас-тю

3. Випадкові величини. Функція розподілу випадкової величини та її вл-ті.

Випадковою величиною називають таку величину яка приймає числові значення і при чому яке із своїх випадкова величина прийме передбачити неможливо. Можна вважати, що випадкова множина є функція яка задана на просторі елементарних подій і яка приймає числові значення.

Нехай задано імовірнісний простір (Щ,S,P(А)), де Щ-пр-р елем-х подій, S-мн-на всіх подій(д-алгебра підмін-н в ньому), P(а)- ймов-ть кожної з тих подій. ж, з –випадкові величини.

Випадковою величиною наз-ся така ф-я ж: Щ >R, яка приймає числові значення і така, що для кожного хR {}F.Ця ф-я наз-ся вимірною відносно –алгебри F, w – множина.

Ф-я розподілу ВВ: У кожній точці х ф-я роз-лу = ймов-ті того, що ВВ прийме знач-ня <x

Властивості функції розподілу:

1) за допомогою ф-ї розподілу можемо знайти йм-ть того що ВВ належить півінтер-лу [а;b] P{aж<b}=Fж(b)-Fж(a) [Д: Fж(b)=(за озн-м)P{ж<b}= P{a<ж або (aж<b)}= P{a<ж}+ P{aж<b}=Fж(a)+ P{aж<b}].

2) для будь-якого хЄR 0<=Fж(x)<=1 [очевидно, оск-ки ФР є за озн-м ймов-тю, то вона приймає значення від 0 до 1].

3) Fж(x) є не спадною ф-єю [візьмемо довільні a,b: a<b. покажемо, що F(a)F(b). Розглянемо F(b)-F(a) і покажемо що вона 0. З 1-ї вл-ті F(b)-F(a)= P{aж<b}>=0].

Теорема неперервності : Нехай А1,А2..Аn - деяка послідовність подій така, що і тоді .

4) функція розподілу Fж(х) є неперервною зліва Fж(х)= Fж(х-0) для