5) P{жx}=F(x+0) [Візьмемо довільну :x1>x2>...>xn>..; Розгл-мо Ai={ж<xi} очевидно за т-ю неп-ті ; ; ].

Наслідок з властивостей 4 і 5: Для того щоб випадкова величина приймала 1 конкретне значення з додатною ймовірністю потрібно щоб ФР в цій точці мала розрив І роду. Зокрема якщо функція розподілу є неперервна на всій числовій осі то ймовірність набути одне конкретне значення для випадкової величини=0. P{ж=x}=F(x+0)-F(x-0) [

]

6)F()=0, де[Візьмемо довільну :x1>x2>...>xn>..; ; Розглянемо Ai={ж<xi} очевидно за теоремою неперервності ; ; порівнюючи ліві частини приходимо до висновку що і праві рівні.].

7)F(+)=1 [Візьмемо довільну : x1<x2<...<xn<..; ; Розглянемо Ai={жxi} очевидно за теоремою неперервності ; ; ; 1-F(-)=0; F(+)=1].

Отже, функція розподілу є неперервна зліва не спадна функція яка володіє такими властивостями: F(-)=0; F(+)=1 справедливим є і зворотне твердження.

Теорема: Нехай F(х)- неперервна зліва, не спадна функція яка володіє властивостями F(-)=0 і F(+)=1 тоді існує випадкова величина ж для якої F(х)є функцією розподілу.

Зауваження: теорема не гарантує єдності випадкової величини тобто можуть існувати 2-і різні випадкові величини, які мають одну і ту ж функцію розподілу.

4 Числові характеристики ВВ: математичне сподівання та дисперсія.

ВВ бувають з-х видів: дискретні, неперервні та сингулярні. Дискретна ВВ – це ВВ, яка приймає зліченну, а зокрема скінченну к-ть значень.

Математичне сп-ня дискретної ВВ наз-ть сума: ж-неперервна ВВ (1). За-я: 1)Ряд (1) передбачається абсол-но збіжний; 2) Якщо дискретна випадкова величина приймає скінчену кількість значень то ряд (1) перет-ся в скінченну суму.

Властивості мат.сподівання:

МС константи=самій константі Мс=С [випадкова величина з одним значенням с яка має ймовірність 1, тоді Мс=с*1=с ]

константи з під знаку МС винос-ся Мсж=СМ [якщо ж-диск-й роз-л ].

МС суми довільних ВВ = сумі МС дод-ків [Нехай з,ж-дискретний розподіл

4) (н-к з 2-3 в.)[]. |

x1 | … | xn

P | p1 | … | pn

5)Якщо і незалежні ВВ

[для дискретних величин і дискретні. |

y1 | … | yn

p | q1 | … | qn

x1*y1 | … | … | xn*ym

p | p1*q1 | … | pi*qj | … | pn*qm

]

Відхиленням ВВ наз-ть ВВ (о-Мо). МС відх-ня = 0.[ Мо-const за в.1]

Дисперсією наз-ть мат-не спод-ня квадрату відхилення ВВ. .

Якщо о-дискретний розподіл :

Якщо о-неперервний розподіл :

Дисперсія є числовою характеристикою ступеня «розкиданості» значень ВВ навколо МС. Чим більшою є дисперсія тим далі розкидані зн-ня ВВ.

Властивості дисперсії:

1) [ , ]

2) Const з під знаку дисперсії можна виносити підносячи її до квадрату [].

3) Якщо і незалежні ВВ [

тому що якщо скоротити то вираз буде = 0].

4) Якщо і незалежні випадкові величини [ і (-)незалежні . ].

5) Для обчислення дисперсії на практиці використовують таку формулу [

].

5ГС.Вибірка з ГС.Вибіркове сер-нє та в-ва дисперсія.Емпір-на ФР.

Ген-ю сук-тю наз-ся мн-на всіх об-в, кіл-ну,як-ну хар-ку яких нам треба дослідити.

Вибіркою з ГС наз-ся підмін-на Х ГС, на елементах якої робиться висновок про кіл-ну чи якісну характеристику всієї ГС. Вибірка, яка адекватно представляє генеральну сукупність називається репрезентативною.

Способи утворення вибірок діляться на дві групи: 1) передбачає, що вибір здійснюється з усієї ГС: повторна або безповторна, 2) передбачає, що перед вибором генеральна сукупність ділиться на певні частини.

1 сп-б отримання вибірки: проста безповторна вибірка—здійснюється вибір навмання з усієї ГС об’єкту, досліджується його якісна чи кількісна харак-ка і об’єкт відкладають в сторону, потім вибирають другий об’єкт і так далі.

2 сп-б отримання вибірки: проста повторна вибірка—відрізняється від попер-го способу тим, що вибраний і перевірений об’єкт знову повертається в ГС.

У випадку, коли кількість елементів в генеральній сукупності є великою, то різниця між двома вище названими способами вибірки є несуттєвою, коли нескінченна кількість— різниця повністю зникає.

3 сп-б: типовий вибір(2г): спочатку вся ГС розбивається на певні типи чи на певні групи, а потім з кожної групи навмання вибираються об’єкти.

4 с:механічний в-р(2г):перед-є вибір кожного n об’єкту для утв-ня - %в-ки.

5 сп-б:серійний вибір(2г): об‘єкти з ГС вибир-ся не по одному, а цілими серіями.

На практиці вик-ть комбінований м-д, який є комбінацією всіх вище названих сп-в.

К-ть елем-в генеральної сукупності називається об’ємом генеральної сукупності.

Кількість елементів вибірки називається об’ємом вибірки. Варіаційним ряд - вибірка, посортована в порядку зростання ел-в (дос-ся кіл-на ознака).

Нехай з генеральної сукупності здійснено вибірку об’єму n: x1, x2, …, xn.. Вибірковою середньою називається величина : Якщо серед варіант в-ки є однакові, то виб-ве сер-нє . – це середньо зважене за частотами,ni–частота появи варіанти xi, n–об’єм виб-ки .

ВС відхилення = 0[]

Оск-ки ВС відх-ня завжди = 0, то вводять пон-тя вибіркової дисперсії - величина DB, яку шукають за ф-ми: , або

Виб-ву диск-ю зручніше знаходити за ф-ю

Середнє квадратичне відхилення вибірки — це корінь з ВД- .

Емпіричною функцією розподілу – ф-я, яка у кожній точці х виз-ся за правилом F*(x)= , де n- об’єм в-ки ni(x)— сума частот тих варіант, які < x.

Властивості емпіричної функції розподілу

Якщо х0 — найменша варіанта у вибірці, то ЕФР для будь-якого хх0.

Якщо хk  — найбільша варіанта у вибірці, то ЕФР для будь- якого х >хk.

ЕФР неперервна зліва.

ЕФР завжди є східчастою.